Mecánica de Landau: ¿por qué ¿agregar Lagrangianos elimina la indefinición de multiplicar cada lagrangiana por una constante diferente?

Question

En Landau Mecánica de la tercera edición de la página 4), ¿por qué la adición de Lagrangians de dos no interactúan las partes quitar el indefiniteness de multiplicar cada uno de Lagrange por una constante diferente?

Si ambos sistemas son completamente no-interacción, que puede perfectamente crear un nuevo Lagrangiano L = a*L1 + b*L2 y todavía mantener la validez de Euler-Lagrange las ecuaciones y realizar la acción integral, perfectamente inmóvil, con a y b diferentes. Yo no puedo?

Aquí está el original de la declaración:

Es evidente que la multiplicación de la Lagrangiana de un sistema mecánico por una constante arbitraria no tiene ningún efecto sobre las ecuaciones de movimiento. A partir de esto, que podría parecer, la siguiente propiedad de la arbitrariedad puede ser deducido: el Lagrangians de diferentes aislados de los sistemas mecánicos puede ser multiplicado por diferentes constantes arbitrarias. La propiedad aditiva, sin embargo, elimina esta indefiniteness, ya que sólo admite simultáneamente la multiplicación de los Lagrangians de todos los sistemas por la misma constante.

Yo entiendo que, por supuesto, después de crear L = L1 + L2, xL = xL1 + xL2, pero nada me detiene la multiplicación de cada uno de Lagrange de cada uno de los que interactúan parte por diferentes constantes a y b y , a continuación, sumar, como: xL = xaL1 + xbL2

Así que la declaración parece sin sentido para mí. Alguien podría aclarar? Gracias!

Una adición: por lo que veo, si ambos sistemas están interactuando de forma externa, las constantes deben ser iguales (y la proporción de las masas se convierte en relevante). Mi objetivo es exactamente eso: entender, conceptualmente, cómo se deriva la función de la razón de masas más adelante, en la página 7. Volviendo al texto, lo que me confunde es que la cosa empieza con la suposición de que el sistema se cierra de manera externa, la interacción es despedido:

Vamos a un sistema mecánico compuesto de dos partes que, si cerrado (..), y la interacción entre ellos puede ser descuidado, el Lagrangiano del sistema en su conjunto tiende a: lim L = La + Lb.

Answer 1

El supuesto implícito en Landau y Lifschitz es que se puede interactuar con los sistemas externamente, para agregar o quitar energía. La energía/el impulso del sistema se determina a partir del Lagrangiano, y la extracción de energía de un sistema, y la adición de la misma energía a los otros revelará la constante de proporcionalidad entre las dos.

La razón de esto se deja implícita es debido a que la formulación de Lagrange ya tiene implícito un derecho de la energía en el interior, ya que el Lagrangiano es construido a partir de los conceptos de energía (aunque técnicamente hablando es lógicamente independiente, con la conservación de la energía sólo después de un tiempo independiente del sistema). Así que cuando usted tiene la suma de Lagrange, usted sabe que la relación de la cinética y la energía potencial en los dos sistemas, algo que es físicamente relacionadas con los dos coeficientes de frente el uno al otro.

Answer 2

Ya que el de Euler-Lagrange las ecuaciones son homogéneas, podemos multiplicar la totalidad de Lagrange por una constante (o añadir una constante, por cierto) y no cambiar las ecuaciones de movimiento. No es lo mismo cuando tratamos de multiplicar los términos independientes de las de Lagrange por las diferentes constantes. Las ecuaciones de movimiento no se reduce a la ley de Newton, $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$, entre otros problemas (total de energía será incorrecto, momento angular, etc.).

Como un caso de prueba se puede considerar de dos partículas en un potencial externo bien (sin interacciones mutuas). Si usted tiene su $a$ $b$ por encima de esos que $a\ne b$, podrás deducir una ecuación de movimiento que está mal.