¿Cómo se puede determinar rigurosamente la cardinalidad de un espacio vectorial de dimensión infinita?

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre un campo escalar $F$ . Si $\dim(V)=n$ entonces $|V|=|F|^n$ . ¿Cómo puedo determinar rigurosamente la cardinalidad de $V$ cuando $V$ ¿es de dimensiones infinitas?

Mi idea era que si $\mathscr{B}$ es una base ordenada para $V$ entonces la cardinalidad de $V$ viene dado por el conjunto de funciones de $\mathscr{B}\to F$ identificando los elementos de $V$ con su $\mathscr{B}$ -vector de coordenadas. Sin embargo, creo que sólo debemos contar las funciones con soporte finito, ya que las sumas infinitas no tienen sentido.

¿Es esto correcto? Si es así, ¿cómo se encuentra la cardinalidad de $\{f\colon\mathscr{B}\to F\mid \mathrm{supp }(f)<\infty\}$ en términos de, por ejemplo $|F|$ y $|\mathscr{B}|$ ? Gracias.

Answer 1

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre $F$ y $V$ tiene una base $B$ .

A partir de la definición de una base cada $v\in V$ puede escribirse como una suma única de elementos de base y escalares. Es decir, existe un subconjunto finito de $B\times (F\setminus\{0\})$ cuya suma es $v$ y si exigimos que este conjunto sea una función en su dominio, entonces este conjunto es único.

Esto da una inyección bien definida de $V$ en subconjuntos finitos de $B\times(F\setminus\{0\})$ . Asumiendo el axioma de elección tenemos que, $$|V|\leq\left|[B\times(F\setminus\{0\})]^{<\omega}\right|=|B\times F|=\max\{|B|,|F|\}\leq|V|\implies|V|=\max\{|B|,|F|\}.$$