Prueba: La fuerza siempre es perpendicular y el movimiento en un plano implica que la trayectoria es un círculo

Question

Estoy buscando una prueba para un problema de física. Consideremos una partícula que está sometida a una fuerza $\vec{F}(t)$ con $|\vec{F}(t)| = \text{const}$ que siempre es perpendicular a la velocidad $\vec{v}(t)$ . Supongamos además que el movimiento tiene lugar en un plano.

Para ponerlo en un problema matemático:

Dejemos que $x\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ (2 por la condición de "plano") sea suave.

Supongamos que $<x''(t),x'(t)>= 0$ para todos $t$ y $|x''(t)| = \text{const}$ . Entonces $x(\mathbb{R})$ es un círculo. $<\cdot,\cdot>$ denota el producto escalar estándar en $\mathbb{R}^2$ y $'$ el derivado.

¿Cómo demostrarlo?

¿El teorema sigue siendo correcto si se abandona la suposición $|x''(t)| = \text{const}$ ?

Nota: esto no es un problema de tarea, sólo quiero saber cómo probar este resultado físico matemáticamente. En los libros de física se afirma a veces la afirmación anterior, pero en todos los casos que he visto han demostrado sólo la afirmación lógicamente inversa.

Answer 1

Sí, necesitas $|x''|$ para ser constante.

Como la aceleración es normal a la velocidad, la velocidad $|x'(t)|$ es constante, digamos $|x'(t)| = s$ . En el plano de movimiento hay dos direcciones normales al vector velocidad, y si $x''$ es continua y nunca $0$ se debe elegir una de estas dos orientaciones posibles para toda la trayectoria. Así tenemos la ecuación diferencial $$x'' = n \times x'$$ donde $n$ es un vector normal al plano (y, para tener $|x''|$ constante, $n$ es constante). Ahora el movimiento con una cierta velocidad constante $s$ (que dejaré que calcules) en un círculo de radio $r$ satisfará esta ecuación diferencial, y podemos elegir el radio y la posición inicial para que coincidan con cualquier condición inicial $x(0)$ , $x'(0)$ . Por el Teorema de Existencia y Unicidad para las ecuaciones diferenciales, estos movimientos circulares le dan todas las soluciones posibles.

Si se le permitiera cambiar repentinamente de una $n$ a otro, podrías tener un movimiento que comienza en un círculo y de repente se transfiere a otro círculo del mismo radio tangente a él. Pero en el instante de la transferencia, la aceleración no existiría (los límites unilaterales de $\dfrac{x'(t) - x'(t_0)}{t - t_0}$ como $t \to t_0+$ y como $t \to t_0-$ sería diferente).

Answer 2

Una partícula positiva cargada entra en una región de campo magnético uniforme $B \vec{k}$ . Inicialmente $\vec v=v_0\vec i$ .

En el momento general $t$ , $\vec v=v_1\vec i+v_2\vec j$ y $\vec a=a_1\vec i+a_2\vec j$ .

$$\vec F=q.\vec v\times \vec B=qB(-v_1\vec j+v_2\vec i)$$

También por conservación de la energía, $|\vec v|$ se mantiene constante.

$$v_1^2+v_2^2=v_0^2$$

$$a_1=\frac{qBv_2}{m}$$ $$v_1\frac{dv_1}{dx}=\frac{-qB\sqrt{v_0^2-v_1^2}}{m}$$

$$\int_{v_0}^{v_1}\frac{v_1dv_1}{\sqrt{v_0^2-v_1^2}}=\frac{-qBx}{m}$$ $$\sqrt{v_0^2-v_1^2}=\frac{qBx}{m}$$ $$\int\frac{dx}{\sqrt{v_0^2-\frac{q^2B^2x^2}{m^2}}}=t$$

$$x=\frac{mv_0}{qB}\sin{\frac{qBt}{m}}$$

Del mismo modo, obtendrá $$y=-\frac{mv_0}{qB}(1-\cos{\frac{qBt}{m}})$$

Que son claramente coordenadas paramétricas de un círculo.

Answer 3

Una forma fácil de ver esto es identificar el plano $\Bbb{R^2}$ con $\Bbb{C}$ para que $x(t)$ , $x'(t)$ y $x''(t)$ son ahora números complejos. La derivada de $t\mapsto |x'(t)|^2$ es $2{\rm Re}(x''(t)\overline{x'(t)})=2\langle x'(t),x''(t)\rangle=0$ , por lo que la velocidad es constante: $\forall\, t\in\Bbb{R}, |x'(t)|=v>0$ (no hay nada que probar si $v=0$ ). Ahora, mira la siguiente función $$g:\Bbb{R}\to\Bbb{C}:g(t)=\dfrac{x''(t)}{x'(t)}$$ Desde ${\rm Re}(g(t))=\frac{1}{v^2}{\rm Re}(x''(t)\overline{x'(t)})=0$ y $|g(t)|=\frac{a}{v}$ (donde por supuesto $\forall\, t\in\Bbb{R}, |x''(t)|=a$ ) concluimos que la función continua $g$ toma sus valores en $\{i\frac{a}{v},-i\frac{a}{v}\}$ y la continuidad de $g$ implica que, en este caso, debe ser constante. Es decir, o bien $$\forall\, t\in\Bbb{R}, g(t)=i\frac{a}{v}\quad\hbox{or}\quad\forall\, t\in\Bbb{R}, g(t)=-i\frac{a}{v}.$$ Así que, $x''=\epsilon i\frac{a}{v} x'$ donde $\epsilon\in\{+1,-1\}$ . Esto puede integrarse fácilmente para obtener $x'(t)=x'(0)\exp(\epsilon i\frac{a}{v}t)$ y $x(t)=x(0)-\epsilon i\frac{v}{a}x'(0)\exp(\epsilon i\frac{a}{v}t)$ . Esta es claramente la representación paramétrica de un círculo. $\qquad\square$

Answer 4

Imagina que el movimiento es en un plano complejo, descrito por la posición $f \in \mathbb{C}$ y el tiempo $t$ .

Supongamos que su movimiento comienza en $f(0) = 1$ . Suponga que su velocidad es perpendicular a la posición y que la velocidad es un factor constante de la posición (ignorando las conversiones de unidades para simplificar):

$$f'(t) = i\,f(t)$$

(Recuerde que cuando se multiplica por $i$ en un plano complejo, gira un vector 90 grados).

Entonces, ¿qué función se describe con $f(0) = 1$ y $f'(t) = i\,f(t)$ ?

$$f(t) = e^{it} = \cos(t) + i\sin(t)$$

que es el movimiento de un círculo. Por otro lado, si sólo se supone que la velocidad es proporcional a la posición, pero no se hace ninguna suposición sobre la velocidad introduciendo una función arbitraria $g(t)$ :

$$f'(t) = i\,g(t)\,f(t)$$

resolver:

$$f(t) = e^{i\int\,g(t)dt} = \cos\left(\int\,g(t)dt\right) + i\,\sin\left(\int\,g(t)dt\right)$$

que puedes utilizar para hacer muchos tipos de formas.