Uso indebido de Stokes y Teorema de la divergencia. Encontrar el problema

Question

Puede alguien señalar lo que está mal con esta igualdad? Suponga que $\mathbf{F}$ es continua (y por lo tanto, sus derivadas parciales).

$$\begin{align} \oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} & =^\text{by Stokes} \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} \\ &=^\text{by Div} \iiint_V \nabla\cdot( \nabla \times \mathbf{F} ) \, dV \\ &=\iiint_V 0 \,dV \\ &=0\\ &\implies \oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}= 0 \; \forall \mathbf{F} \end{align}$$

Desde que asumió $\mathbf{F}$ y sus parciales son todas continuas. Pero, obviamente, esto está mal si $\mathbf{F}$ no es conservador. Pero todo parece estar de acuerdo. ¿Qué salió mal?

EDIT. Por un refinamiento del problema. Permítanme estado que $S$ es una superficie cerrada con una curva de límite que también está cerrado. Por lo $V$ aquí es el volumen de la superficie y desde $S$ está cerrada que tiene un volumen de

Answer 1

En realidad no hay nada de malo con eso. Usted comienza con un campo de vectores integrado a través de una curva cerrada. Su primera igualdad de la que hace uso del Teorema de Stokes va a una integral sobre una superficie S para que su curva original debe ser el límite. Su siguiente igualdad se utiliza el teorema de la divergencia y se va a una integral sobre un volumen en el que su superficie S debe ser el límite de lo que implica que S es una superficie cerrada. Desde sus supuestos indican que S es una superficie cerrada S no tiene un límite - o más bien, el límite de S es el conjunto vacío. Por lo que la integral se inicia con más de un conjunto vacío\begin{align} \oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} & =^\text{by Stokes} \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} \\ &=^\text{by Div} \iiint_V \nabla\cdot( \nabla \times \mathbf{F} ) \, dV \\ &=\iiint_V 0 \,dV \\ &=0\\ &\implies \oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}= 0 \; \forall \mathbf{F} \end> por lo tanto es cero.

Answer 2

Este es uno de mis favoritos de los fenómenos en el cálculo multivariable. Recuerdo que darse cuenta de esto cuando yo estaba aprendiendo el tema, y pasó muchas horas preguntándose cómo podría ser esto.

La explicación de este fenómeno se encuentra en el siguiente principio geométrico:**

El límite de una frontera está vacía.

Este geométrica de hecho, en cierto sentido, "dual", el hecho de que $\text{div}(\text{curl}\,\mathbf{F}) = 0$ todos los $\mathbf{F}$.

En particular, si usted tiene un volumen $V$ que los límites de una superficie $S$, entonces la superficie de la $S$ no puede tener una curva de límite. Dicho de otra manera, la curva de límite $C = \partial S$ es el conjunto vacío, por lo que la integración de cualquier cosa sobre ella es cero.

Ejemplo: En los comentarios, que considere un sólido hemisferio $V$. El límite de $V$ será entonces la superficie del hemisferio y también el disco de la base. Esta superficie cerrada (que consiste tanto en la superficie del hemisferio y el disco de la base) ¿ no tiene una curva de límite.

Por otro lado, la superficie que es sólo el hemisferio (sin la base) tiene una curva de límite: a saber, el círculo. Sin embargo, esta superficie no puede ser dicho para adjuntar cualquier volumen.

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Nota 1: en general, cuando uno habla de un "circuito cerrado" de la superficie, en concreto, significa una superficie que no tiene una curva de límite. Esta es una desafortunada pieza de la terminología, dado que el término "cerrado" también se puede referir a ser un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^3$, y estas dos definiciones no equivalente.

Por ejemplo, el hemisferio, junto con su curva de límite (pero no incluyendo el disco de la base) es un cerrado como un subconjunto de a $\mathbb{R}^3$, pero no es generalmente llamado un "superficie cerrada." Sin embargo, el hemisferio, junto con el disco de la base es una superficie cerrada (y también se cierra como un subconjunto de a $\mathbb{R}^3$).

** Nota 2: Este principio es un poco vago como se indica. Con el fin de hacer que sea preciso, hay que definir rigurosamente la noción de "límite". Esto se puede hacer en un par de maneras; algunas definiciones se cumple este principio, mientras que otros no. Por ahora, no vamos a entrar en estos detalles.