Reconstrucción global del grupo de Lie a partir del mapa exponencial

Question

Esto debería ser una pregunta elemental en teoría de grupos de Lie, aunque estoy bastante seguro de que estoy mezclando conceptos. Cualquier ayuda para aclararlo sería muy apreciada.

Preparar

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie real de dimensión finita, y tomarlo, por simplicidad, como conectado . Existe una triple correspondencia entre:

1. espacio tangente en el elemento de identidad : $T_eG$ ,
2. campos vectoriales invariantes a la izquierda : $\mathfrak{g}$ ,
3. subgrupos de un parámetro de $G$ : $\text{Hom}_{\text{LieGr}}(\mathbb{R},G)$ ,

que se denominan indistintamente Álgebra de Lie de $G$ .

El mapa exponencial de $G$ se define como
$$ \exp_G:\mathfrak{g}\to G\,,\quad X\mapsto \exp_G(X):=\phi_X(1)\,, $$
donde $\phi_X$ es el subgrupo de un parámetro generado por el campo vectorial (izquierdo) invariante correspondiente al vector tangente $X\in T_eG$ . En particular, tenemos para todo $t\in\mathbb{R}$ que $\phi_X(t)=\exp_G(tX)$ y por lo tanto el mapa exponencial envía el subespacio vectorial unidimensional a través de $X$ al subgrupo entero de un parámetro generado por $X$ .

(a) El mapa $\exp_G$ es sólo un local difeomorfismo. Sin embargo, su imagen $\exp_G(\mathfrak{g})$ es una vecindad (conectada) de la identidad. Por lo tanto, el subgrupo $\langle \exp_G(\mathfrak{g})\rangle$ generado algebraicamente por esta imagen es el grupo de Lie completo $G$ de nuevo (ya que $G$ se asume conectado ) Prop. A4.25 .

(b) Por otro lado, $\exp_G$ no es más que un local difeomorfismo y, por lo tanto, no debería ser capaz de recuperar global información sobre $G$ . Es decir, los grupos de Lie con álgebras de Lie isomorfas no son necesariamente isomorfos, y la cuestión aquí es la habitual conexión simple . Sin embargo, parece que en (a) podemos distinguir perfectamente los diferentes grupos de Lie con un álgebra de Lie dada. $$ $$

Pregunta(s)

¿De dónde procede la información topológica en el proceso de generación en (a)? O, ¿dónde se pierde en (b)? O, si las preguntas no tienen sentido, ¿dónde está la confusión?
$$ $$

Mi opinión es que en (a) realmente estamos generando el grupo de Lie $G$ por la imagen de subgrupos de un parámetro $\text{Hom}(\mathbb{R},G)$ que ya contienen suficiente información topológica sobre $G$ . En particular, por simple Yoneda si $\text{Hom}(\mathbb{R},G)\cong \text{Hom}(\mathbb{R},H)$ entonces $G\cong H$ . [Sin embargo, el Hom es igualmente isomorfo al espacio tangente a la identidad $T_eG$ y, por tanto, parece que siempre podemos reproducir todo el grupo mediante este pequeño dato simplemente "vectorial".

En (b) Cuando nos preocupamos por los grupos de Lie no isomorfos con álgebras de Lie isomorfas, en realidad nos olvidamos por completo de sus mapas exponenciales subyacentes y sólo mantenemos la propiedad de difeomorfismo local. Las álgebras de Lie son entonces objetos puramente algebraicos sin grupos de Lie (globales) a priori. Los grupos de Lie locales "correspondientes" pueden construirse mediante la fórmula BCH, que se define completamente en términos de la estructura de las álgebras de Lie.

Por lo tanto, en (a) decir que reconstruimos todo el grupo de Lie a partir del mapa exponencial puede considerarse una tautología porque el propio mapa exponencial se define globalmente con respecto a un grupo de Lie dado. Y, aunque las álgebras de Lie pueden ser isomorfo no son los mismo y el mapa exponencial distingue precisamente esto.
$$ $$ Por favor, (re)etiquete más apropiadamente y/o edite la pregunta si es necesario.

Answer 1

Vamos a centrar nuestra atención en un caso especial sencillo: el mapa cociente $\mathbb{R} \to \mathbb{R} / \mathbb{Z}$ como mapa de grupos de Lie, induce un isomorfismo en las álgebras de Lie, pero no es un isomorfismo. Por lo tanto, el álgebra de Lie ni siquiera puede decir si un grupo de Lie es compacto o no (aunque puede acercarse sorprendentemente, como resulta, módulo de este ejemplo).

Cuando se intenta reconstruir un grupo de Lie conectado como el grupo generado por la imagen del mapa exponencial, el problema es que hay algunas relaciones entre estos generadores que tienen lugar "lejos de la identidad", y sin más información global que la simple expansión de Taylor de la multiplicación del grupo de Lie en la identidad, no se sabe cuál de estas relaciones imponer o no. En el ejemplo anterior, una de estas relaciones es $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ que se mantiene en $\mathbb{R} / \mathbb{Z}$ pero no en $\mathbb{R}$ .

(Lo que es peor, ni siquiera se sabe a priori que se puedan imponer consistentemente estas relaciones de manera que se obtenga un grupo de Lie globalmente. Es decir, no es nada obvio, aunque sí cierto, que toda álgebra de Lie de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie).

Answer 2

Supongo que me convencí de los comentarios a raíz y motivados por la respuesta de Qiaochu, y lo pongo aquí como respuesta por si alguien se confunde de forma similar.

Así que, efectivamente, la cuestión aquí era sólo una cuestión de interpretación. La mejor manera, y probablemente la correcta, de pensar en el mapa exponencial de un grupo de Lie $G$ es como un gadget destinado a organizar sus subgrupos de un parámetro: $$ \exp_G:\text{Hom}(\mathbb{R},G)\to G\,,\quad \phi\mapsto \phi(1)\,. $$

La pregunta en (a) es similar a la pregunta sobre la subjetividad de $\exp_G$ . Se pregunta sobre cómo los subgrupos de un parámetro de $G$ portada $G$ . En la misma línea, en (a) cuando decimos que la imagen de $\exp_G$ genera el grupo de Lie $G$ (cuando está conectado) está diciendo exactamente cómo los subgrupos de un parámetro de $G$ sentarse dentro $G$ mismo. La respuesta a la pregunta " ¿De dónde procede la información topológica en el proceso de generación en (a)? " no está en ninguna parte, porque toda esta información ya está en $G$ que no hemos olvidado. Lo que sí proporciona es una información más refinada sobre cómo el grupo Lie $G$ se comporta en términos de mapas de $\mathbb{R}$ en $G$ . En particular, a través del isomorfismo $\mathfrak{g}\cong T_eG\cong \text{Hom}(\mathbb{R},G)$ (como se da con pleno conocimiento de $G$ ), el resultado $\langle \exp_G(\mathfrak{g})\rangle=G$ viene como no tan tautológico porque dice que podemos escribir cualquier elemento del grupo $g\in G$ como un producto finito de exponenciales $g=\exp_G(X_1)\cdots \exp_G(X_k)$ , donde $X_1,\ldots, X_k\in T_eG$ . Esto puede ser muy útil para reducir una prueba sobre $G$ a una prueba sobre $\text{Hom}(\mathbb{R},G)$ .

Cuando miramos cosas como en (b) y utilizar $\exp_G$ para concluir que las álgebras de Lie isomorfas pueden provenir de grupos de Lie no isomorfos, simplemente estamos utilizando la difeomorfismo local propiedad de $\exp_G$ (es decir $(d \exp)_e=\text{id}_{\mathfrak{g}}$ ), pero, por lo demás, olvidarse de $\exp_G$ . Esto responde a la pregunta "¿Dónde se pierde en (b) ?" En este punto tenemos simplemente un álgebra de Lie abstracta $\mathfrak{g}$ junto con la fórmula BCH (que codifica de forma equivalente las propiedades locales, es decir, en torno a la identidad, de un grupo de Lie olvidado). El álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ por sí sola determina como mucho un grupo local de Lie, pero no más.

Nótese que a priori no existe la noción de exponenciación de $\mathfrak{g}$ en el sentido anterior. Sin embargo, por el teorema de Ado, cualquier álgebra de Lie de dimensión finita $\mathfrak{g}$ es una subálgebra de $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ para algunos $n$ y, por lo tanto, podemos exponer $\mathfrak{g}$ como un álgebra de Lie matricial a través de la serie de potencias habitual. Para $U$ un barrio de $0$ en $\mathfrak{g}\subseteq \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ podemos formar $\exp(U)\subseteq \text{GL}(n,\mathbb{R})$ (como submanifiesto). La fórmula Baker-Campbell-Hausdorff en $\text{GL}(n,\mathbb{R})$ entonces da $\exp(U)$ la estructura de un grupo de Lie local que, de hecho, puede extenderse a un grupo de Lie global. Una referencia útil sobre esta última parte son las notas de Terry sobre grupos locales .