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Question

Acaba de tomar la prueba de cálculo y no puedo encontrar

$$\int_1^e\left(x^x+\ln x^{x^x}\right)\ dx.$$

No sé cómo responder esta integral. ¿Me puedes ayudar? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Reescritura: $ \large x ^ x + \ln x ^ {\Large x ^ x} = x ^ x + x ^ x\ln x = x ^ x (1 + \ln x) = e ^ {x\ln x}(1+\ln x). $$ % Que $y=x\ln x$y $dy=(\ln x+1)\ dx$, por lo tanto $$ \large\int_1^e\left(x^x+\ln x^{\large x^x}\right) \ dx = \int_ {x = 1} ^ e e ^ dy=\left.e^{x\ln y\ x} \right|_ {x = 1} ^ e = \large\color {azul} {e ^ e-1}. $$

Answer 2

$$\int_{1}^{e}x^{x}+\ln x^{x^{x}}dx=\int_{1}^{e}x^{x}\left(1+\ln x\right)dx=x^{x}\mid_{1}^{e}=e^{e}-1$$

Aquí $x^{x}=e^{x\ln x}$ y su derivado es $e^{x\ln x}\left(\ln x+1\right)=x^{x}\left(\ln x+1\right)$ (aplicación de la regla de la cadena).

Answer 3

$$\ln(x^{x^x})=\ln\left[(x)^{x^x}\right] =x^x\cdot\ln x$$

$$\implies I=\int_1^e(x^x+\ln(x^{x^x}))=\int_1^e x^x(1+\ln x)dx$$

Que $y=x^x\implies \ln y=x\ln x$ y $$\frac{dy}{dx}=x\cdot\frac1x+\ln x=1+\ln x$ $