número de Estados en conjunto de microcanonical

Question

Tengo un problema con la definición de $\Omega(E,V,N)$ — el número de microstates con $V$, $N$ y energía $E$. Se inicia con la definición de los PDF. Si uno define el PDF de la siguiente manera:

$P(\{q_i,p_i\})=\dfrac{1}{\Omega(E,V,N)}$ si $H(\{q_i,p_i\})=E$ $P(\{q_i,p_i\})=0$ lo contrario.

En este caso se deduce que para que $P$ a de ser normalizada debemos exigir que: $$\Omega(E,V,N)=\frac{1}{h^{3N}}\cdot\int_{H=E} d\Gamma$$ pero esta integral es cero debido a que el dominio de integración es un conjunto de medida cero. Así que como ya vimos, hay dos opciones. la primera es redefinir el PDF como: $$P(\{q_i,p_i\})=\frac{1}{\Omega(E,V,N)}\cdot \delta(H(\{q_i,p_i\})-E)$$ y, a continuación, obtenemos: $$\Omega(E,V,N)=\frac{1}{h^{3N}}\cdot\int \delta(H(\{q_i,p_i\})-E) d\Gamma$$ que resuelve el problema de cero integral, pero ahora tiene la dimensión de $\dfrac{1}{[E]}$ que es problemático si quiero considerar $\log \Omega(E,V,N)$.

La segunda opción es redefinir el PDF como:

$P(\{q_i,p_i\})=\dfrac{1}{\Omega(E,V,N)}$ si $H(\{q_i,p_i\})\in[E,E+dE]$ $P(\{q_i,p_i\})=0$ lo contrario

y, a continuación, obtenemos: $$\Omega(E,V,N)=\frac{1}{h^{3N}}\cdot\int_{E<H<E+dE} d\Gamma$$ que también se resuelve el problema de cero integral y la dimensionalidad del problema (ahora es una cantidad adimensional), pero el inconveniente ahora es que se siente para mí como si no está bien definida de esta manera porque he definido el PDF por algunos infinitesimal qunatity. Sé que hay un formal consturction de la infinitesimals pero no estoy familiarizado con él.

por favor alguien puede arrojar algo de luz sobre cual de estas 2 definiciones son "mejores"?

Answer 1

La dimensión del problema se resuelve fácilmente mediante la definición de la función de densidad de probabilidad(PDF)

$$P(\{q,p\})=\frac{E_0}{h^{3N}} \ \delta (H(\{q,p\})-E)$$

donde $E_0$ es una constante arbitraria que no afectará a ninguna de termodinámica cantidad o el equilibrio de la propiedad.

En realidad, esta definición es incompleta. Tenemos que tomar en cuenta la indistinguishability de partículas, o nos vamos a encontrar con Gibbs' paradoja. La correcta es, por tanto, PDF

$$P(\{q,p\})=\frac{E_0}{N! h^{3N}} \ \delta (H(\{q,p\})-E)$$

También, se puede demostrar que las dos definición del PDF que usted menciona son casi equivalentes:

Imaginar para dividir el espacio de fase en hypercubes de volumen $\delta x^{3N} \delta p^{3N} = h^{3N}$, y vamos a decir que sólo se puede determinar la energía de cada microestado a ser dentro de$E$$E+E_0$. Podemos entonces definir un grano grueso partición funcion

$$\tilde \Omega(N,V,E) = \sum_{\text{hypercubes}: E<H<E+E_0} \frac{\delta x^{3N} \delta p^{3N}}{ h^{3N}} \simeq \frac{1}{h^{3N}} \int_{E<H<E+E_0} d^{3N}p \ d^{3N}q$$

Ahora, ya que estamos integrando a través de una shell, podemos aproximar esta integral como la hipersuperficie $H=E$ veces el espesor de la $E_0$, la obtención de

$$\tilde \Omega(N,V,E) \simeq \frac{E_0}{h^{3N}} \int d^{3N} p \ d^{3N} q \ \delta (H(\{q,p\})-E) = \Omega(N,V,E)$$

(El indistinguishability debe ser tomado en cuenta por separado en base a argumentos combinatorios y no está incluido en la discusión anterior).

La aproximación

$$\int_{E<H<E+E_0} d^{3N}p \ d^{3N}q \simeq E_0 \int d^{3N} p \ d^{3N} q \ \delta (H(\{q,p\})-E)$$

es bueno cuando $E_0$ es pequeña. Para ver que esto es plausible, considerar el caso particular de la integral sobre un hyperspherical shell:

$$V_{shell}=\int_{R<\| \vec x \|<R+\epsilon} d^D x = V_D(R+\epsilon) - V_D(R)$$

donde $V_D (R)$ es el volumen de la hypersphere

$$V_D(R) = \frac{R^D \pi^{D/2}} {\Gamma(D/2+1)}$$

Entonces tenemos

$$V_{shell} =\int_{R<\| \vec x \|<R+\epsilon} d^D x = \frac{ \pi^{D/2}} {\Gamma(D/2+1)} \left( (R+\epsilon)^D - R^D \right) = \frac{ \pi^{D/2} R^D} {\Gamma(D/2+1)} \left[\left(1+\frac{\epsilon}{R}\right)^D - 1 \right]$$

podemos hacer la siguiente aproximación para $\epsilon \ll R$

$$\left(1+\frac \epsilon R \right)^D \simeq 1 + D \frac{\epsilon}{R}$$

a partir de la cual

$$V_{shell} \simeq \frac{ \pi^{D/2} R^{D-1}} {\Gamma(D/2+1)} \ \epsilon D$$

Ahora, ya

$$\Gamma(D/2+1) = \frac D 2 \Gamma\left(\frac D 2 \right)$$

tenemos

$$V_{shell} \simeq \epsilon \frac{2 \pi^{D/2} R^{D-1}}{\Gamma(D/2)} = \epsilon S_D(R) $$

donde $S_D(R)$ es el área de la superficie de la hypersphere.

Dato divertido: si estamos tratando con los no-partículas que interactúan, es decir,

$$H=\sum_i^N \frac{p_i^2}{2m}$$

tenemos

$$\int_{E<\sum p_i^2/2m<E+E_0} d^{3N}p \ d^{3N}q = V^N \int_{E<\sum p_i^2/2m<E+E_0} d^{3N}p $$

y esta integral es exactamente un hyperspherical shell.

Referencias: M. E. Tuckerman, la Mecánica Estadística: Teoría y Simulación Molecular

Answer 2

Creo que la clave aquí es que usted es la incomprensión de estas integrales.

Veamos la siguiente integral escribió:

$$\Omega(E,V,N)=\frac{1}{h^{3N}}\cdot\int_{H=E} d\Gamma$$

Y vamos a mirar un ejemplo común cuando H es una función de p y q. Ahora esta definición se convierte en:

$$\Omega(E,V,N)=\frac{1}{h^{3N}}\cdot\int_{H(p,q)=E} d\Gamma(p,q)$$

Se puede ver más claramente ahora que estamos integrando a lo largo de una restricción? Esta integral sólo se suma los valores en los que la integración de los parámetros que están obligados a igual a la energía. Se puede ver en este ejemplo específico que la resultante de la integral no es siempre cero? Que decir de este general integral es siempre cero, pero esto no es cierto. Su redefiniciones son, por tanto, no es necesario (y, por cierto, su redefinición en realidad es exactamente la misma definición, sólo reescribió una función definida a tramos en una forma diferente de usar un delta de dirac).

Podemos reescribir esta integral a lo largo de una restricción de uso de funciones delta de dirac:

$$\int_{H(p,q)=E} d\Gamma =\int \delta(H(q,p)-E) dq dp $$

Cuando escribimos la LHS, nos referimos a la RHS. Esta es una definición matemática. Este es correcta y completa, y no hay necesidad de un mayor rigor aquí.

También teniendo en cuenta lo siguiente:

$$\Omega(E,V,N)=\frac{1}{h^{3N}}\cdot\int_{E<H<E+deltaE} d\Gamma$$

Este es un sistema físico, entonces la persona que está considerando antes. Aquí están permitiendo que las energías de la hamiltoniana desde antes de tener algunos finito "espesor" E+$\Delta$E no E+dE). Ahora para la normalización puede manejar esto con una segunda integral para agregar cada uno de estos permitido energías.

Técnicamente es correcto que en el límite donde el delta e va a cero, esto se convierte en la primera definición, por lo que en un sentido es más "general". Pero la definición de su estado, que puede ser descrito por la primera definición mediante el uso de esta segunda definición en el límite donde el delta e va a cero es ahora de manera más rigurosa que la utilización de la primera.

También mencionó las unidades de la primera integral no son la unidad, pero esto no es cierto.

Unidades de manejadores:

La energíadel tiempo = kg(m/s) (m/s)*s = p m (y ya que estamos integrando más de p y x usted va a recuperar unidades de impulso veces de posición)