Par de primos de la forma $4k+3$ y $8k+5$ ?

Question

Esta tarea es opcional, pero me parece mucho más difícil que el resto de la optativa.

Demostrar o refutar que existe un número infinito de pares de primos de la forma $4k+3$ y $8k+5$ (es decir $k$ es entero, no necesariamente primo, $4k+3$ y $8k+5$ son ambos primos).

Por ejemplo, $19,37$ es un par de este tipo para $k=4$ .

Acabamos de aprender el teorema de Dirichlet la semana pasada (aunque no hay pruebas), por lo que debería haber un número infinito de primos de cada tipo, pero no está claro por qué deberían ocurrir ambas cosas. ¿Hay algo dentro de la prueba del teorema que pueda ayudar?

Así que supongo que esta es una pregunta de refutación, ya que no conozco las técnicas para probarlo. Pero lo único que puedo hacer es probar algún módulo, y ninguno funciona. ¿Así que ayuda?

Answer 1

Se trata de una Q abierta en matemáticas. Más generalmente,para el primo p para el cual 2p-1 es también primo : Se desconoce si hay uno mayor, o uno mayor en alguna clase de congruencia infinita (como congruente a 3, mod 4).La mayoría, si no todas, las variantes de esta Q (por ejemplo, un primo p de Sophie Germain , donde 2p+1 es también primo) son también Q's abiertas.