$\left(n^n\right)_b = \left(n\right)_b\left(n\right)_b\ldots\left(n\right)_b$

Question

Un amigo mío me preguntó esto el día de hoy y yo no era capaz de darle una respuesta. Dada una base $b$, encontrar (o demostrar la ausencia) de un número entero $n>1$ s.t. $$\left(n^n\right)_b=\left(n\right)_b\left(n\right)_b\ldots \left(n\right)_b.$$

La notación $\left(n\right)_b \left(m\right)_b$ significa que la concatenación de la representación del número de $n$ base $b$ con la representación del número de $m$ base $b$. El $\ldots$ en el de arriba debe de ser tomado para significar "cualquier número de" consecutivo $\left(n\right)_b$.

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Editar:

@alex.jordan señala el interesante relajación (ver comentarios):

$$\left(n^n\right)_b=\left(\underbrace{0...0}_k\,n\right)_b\left(\underbrace{0...0}_k\,n\right)_b\ldots \left(\underbrace{0...0}_k\,n\right)_b.$$

donde $\underbrace{0...0}_k$ debe entenderse $k\geq0$ ceros a la izquierda.

Una respuesta a cualquiera de las dos es aceptable. La construcción de un $n$ dar una respuesta afirmativa para la primera pregunta (naturalmente) dar una afirmativa a la segunda con $k=0$.

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Edit 2:

El problema general es excesivamente difícil. Voy a aceptar una respuesta para $b=10$.

Answer 1

Si $$ (n)_b = (d_1d_2\ldots d_t)_b \\ (n^n)_b = (n)_b(n)_b\cdots(n)_b $$ para algunos dígitos $d_1,d_2,\ldots,d_t$ base $b$, $(n)_B$ es de un solo dígito y $$ (n^n)_B=(n)_B(n)_B\cdots(n)_B $$ es la repetición de una sola cifra base $B=b^t$. Esto también es cierto si algunos $d_i=0$, lo que permite ceros a la izquierda.

Así, para el ejemplo dado por @alex.jordan en los comentarios $3^3=011011_2$ es equivalente a $3^3=33_8$.

Por lo tanto, es suficiente para buscar soluciones donde $n<B$ es representado por una única base de $B$ dígitos. En este caso tenemos $$ n^n = nB^{l-1} + nB^{l-2} + \cdots + nB + n \\ n^{n-1} = \frac{B^l-1}{B-1} $$

Para $l=1$ no hay soluciones con $n>1$. Para $l=2$ obtenemos el patrón observado por @PeterKošinár en los comentarios, soluciones con $B = n^{n-1}-1$.

Para $l\ge3$ tenemos $(B-1)n^{n-1} + 1 = B^l$. Deje $a=1,~b=(B-1)n^{n-1},~c=B^l$ $$ a + b = c \\ \operatorname{rad}(abc) \le nB(B-1) < l B^2 \log B < \left(B^l\right)^{1/(1+\epsilon)} \text{ para algunas de }\epsilon>0,n>3 $$ donde $\operatorname{rad}(abc)$ es el producto de los distintos números primos dividiendo $abc$. Suponiendo que la conjetura abc sólo puede haber un número finito de pares $n,B$, al igual que este, por lo que generalmente no habrá una solución para un determinado $B$. De hecho, me gustaría conjetura de que no hay soluciones como esta, pero no soy capaz de descartar excepciones.

Ahora bien, si hay una solución con $n^n = n(B+1)$$B=b^t$$n>2,t>1$, a continuación, también puede ser una solución en base a $b$ si $n^{n-1}=b^t+1$. El catalán es una conjetura (Mihailescu del teorema) los únicos poderes diferentes por $1$$8,9$, tan condicionada en mi conjetura de la sección anterior $3^3=011011_2$ sería el único multi-dígito de la solución.