Calcular el polinomio mínimo de esta matriz

Question

Dado $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2 & \cdots & 2 \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ n & n & \cdots & n \end{pmatrix}$ , calcula el polinomio mínimo.

Sé que el poliomio característico es: $$P_A(x) = x^{n-1} \cdot (x - \frac{n(n+1)}{2}) $$

Pero, ¿cómo puedo saber exactamente el polinomio mínimo? ¡Intuyo que es utilizando la teoría de Cayley-Hamilton!

Answer 1

Esta matriz es $$ A=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\vdots\\n\end{bmatrix}\overbrace{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\end{bmatrix}}^{1\times n}\tag{1} $$ Según esta respuesta , $$ \begin{align} \det(I_n\lambda-A) &=\lambda^{n-1}\det\left(I_1\lambda-\begin{bmatrix}\frac{n(n+1)}{2}\end{bmatrix}\right)\\ &=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\frac{n(n+1)}{2}\right)\tag{2} \end{align} $$ Sin embargo, como señala Martin Argerami, y se demuestra fácilmente utilizando $(1)$ , $$ A^2=\frac{n(n+1)}{2}A\tag{3} $$ Así que el polinomio mínimo de A sería $\lambda\left(\lambda-\frac{n(n+1)}{2}\right)$ si $n\gt1$ . Si $n=1$ entonces el polinomio mínimo sería $\lambda-1$ .

Answer 2

Si $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ 2 & 2 & ... & 2 \\ . & . & ... & . \\ n & n & ...& n \end{pmatrix}, $$ entonces no es difícil comprobar que $$ A^2=\frac{n(n+1)}2\,A. $$ Así que $p(A)=0$ , donde $p(x)=x\left(x-\frac{n(n+1)}2\right)$ . Este polinomio se divide por el polinomio mínimo $m_a(x)$ . Como el polinomio mínimo tiene grado al menos dos (si $n\geq2$ porque de lo contrario $A$ sería cero o un múltiplo escalar de la identidad), obtenemos $$ m_a(x)=x\left(x-\frac{n(n+1)}2\right). $$

Answer 3

Este es un enfoque más mecánico, más general (pero menos hábil):

Piensa en el mapa lineal $\alpha$ que la matriz $A$ representa. Primero encontramos la matriz de $\alpha$ en la forma normal de Jordania. Es entonces bien conocido (y relativamente fácil de ver sacando la matriz) que el si escribimos $p_\alpha(x)=\prod_{i=1}^k(x-\lambda_i)^{n_i}$ entonces $n_i$ es el tamaño del mayor $\lambda_i$ bloque. También podemos ver que $\dim\big(\ker(\alpha-\lambda_i)\big)$ es el número de $\lambda_i$ bloques.

En este ejemplo, tenemos $0$ como valor propio, ya que el determinante es cero al no ser las columnas linealmente independientes. Si $e_i$ es la base habitual de $\mathbb{R}^n$ entonces $\dim\big(\ker(\alpha-0)\big) = \dim\big(\langle e_1-e_2,\dots,e_1-e_n\rangle\big) = n-1$ y $\dim\big(\ker(\alpha-\frac{n(n-1)}{2}\big)=1$ . Así, todos los $0$ los bloques son de tamaño $1$ y sólo hay una $\frac{n(n-1)}{2}$ bloque, también de tamaño 1. Así, cada raíz del polinomio mínimo aparece sólo una vez.

De hecho, en este caso podemos hacer algo un poco más rápido (pero con el mismo espíritu). Siempre es cierto que la suma de los eigespacios de un mapa lineal es directa, aquí los eigespacios tienen dimensión $n-1$ y $1$ como se muestra arriba, por lo que su suma es directa y tiene dimensión $n$ por lo que debe ser $\mathbb{R}^n$ . Así, la matriz es diagonal, por lo que todos los bloques de Jordan son de tamaño $1$ por lo que cada raíz del polinomio mínimo aparece sólo una vez.