El problema del guardia de seguridad

Question

Había un guardia de seguridad en un banco. En frente de él eran 100 armarios en las filas de 10. Pensaba en algo como él veía las taquillas estaban cerradas. Él comenzó a abrir todos los armarios cuyo bloqueo de números son múltiplos de 1, a continuación, cierra todos los casilleros, cuyo número es un múltiplo de 2,y hizo lo mismo con el 3 y así sucesivamente. Si el armario estaba abierta, él cerrado, si está cerrada, la abrió. Él fue a abrir múltiplos de 1 (todo),luego 2,4,6,8...y, a continuación, 3,6,9.. Y, finalmente, llegó a 100.

Después de todo, la apertura y el cierre,en el final, ¿cuántos casilleros están abiertas y cuántos cerrado?

Answer 1

Sugerencia: ¿cuántos divisores no $7$? Cuántos divisores no $8$? Cuántos divisores no $9$? Lo que es especial acerca de $9$, y por qué?

Además Sugerencia: Si $a$ divide $n$,$n = ab$, por definición. Por ejemplo, $2$ divide $8$ porque $8 = 2 \cdot 4$. De esta manera, los divisores que surgen naturalmente en pares.

Si los números que aparecen en estos pares son distintos, entonces habrá un número par de divisores. Por ejemplo, los divisores de $8$ (en pares) $1$ $8$ también $2$$4$.

¿Qué pasa cuando los números en la pareja no son distintos? Esto puede sólo ocurrir si $n = a \cdot a$ algunos $a$ (es decir, si $n$ es un cuadrado perfecto). Por ejemplo, los divisores de $9$ (en pares) $1$ $9$ también $3$$3$. No contamos las $3$ dos veces, por supuesto, por lo que tenemos un número impar de divisores.