Continuación equivalente de una métrica

Question

Hola compañeros matemáticos,

Me enfrento al siguiente problema, supuestamente no demasiado difícil:

Sea $(E,f_1)$ sea un espacio normado y $F \subset E$ un subespacio lineal. Sea $f_2$ sea una norma sobre E equivalente a la norma $f_1$ en $F$ . Demostrar que existe una norma $g$ en $E$ que equivale a $f_1$ en $E$ y cuya restricción en $F$ es $f_2$ .

Lo he intentado con todos los lemmata y corolarios relacionados con el teorema de Hahn-Banach, pero, aunque sigo pensando que la demostración debería ser fácil, no he encontrado la manera de abordar el problema.

Estaría muy agradecida si me dieran consejos.

Answer 1

Idea: fijar un número $c>0$ tal que $f_2(x)\le cf_1(x)$ para cada $x\in F$ y poner $g(x)=\inf \{f_2(y)+cf_1(z)|y\in F, z\in E, y+z=x\}$ para cada $x\in E$ . Al menos, yo utilicé una construcción similar para grupos topológicos (véase el Lemma 2 de mi trabajo [1]).

[1] Ravsky O.V. On Extension of (Pseudo-)Metrics from Subgroup of Topological Group onto the Group // Matematychni Studii. - 1999. - 11 , #1 - P.31-39.