¿Cómo se divide una larga secuencia exacta en corto exacta de las secuencias?

Question

¿Cómo se divide una larga secuencia exacta en corto exacta de las secuencias?

Dicen que usted tiene algunos anhela exacta secuencias de módulos $$ 0\longrightarrow M_1\stackrel{\phi_1}{\longrightarrow}M_2\stackrel{\phi_2}{\longrightarrow}M_3\stackrel{\phi_3}{\longrightarrow}M_4\stackrel{\phi_4}{\longrightarrow}\cdots $$ He leído que es posible dividir este en corto exacta de las secuencias. ¿Qué significa eso exactamente? Sería escrito tan corto exacta secuencias, una anexado a otro como $$ 0\longrightarrow N_1\longrightarrow M_1\longrightarrow N'_1\longrightarrow 0\longrightarrow N_2\longrightarrow M_2\longrightarrow N'_2\longrightarrow 0 \longrightarrow\cdots? $$ Si es así, ¿cómo funciona esto? Merci.

Answer 1

Usted puede pensar en el largo de la secuencia exacta $$0\longrightarrow M_1\stackrel{\phi_1}{\longrightarrow}M_2\stackrel{\phi_2}{\longrightarrow}M_3\stackrel{\phi_3}{\longrightarrow}M_4\stackrel{\phi_4}{\longrightarrow}\cdots$$ como una colección de breves secuencias exactas $$0\longrightarrow M_1\stackrel{\phi_1}{\longrightarrow}M_2\stackrel{\phi_2}{\longrightarrow}\mathrm{Image}(\phi_2)\longrightarrow 0$$ $$0\longrightarrow\mathrm{Coker}(\phi_2)\stackrel{\phi_3}{\longrightarrow} M_4\stackrel{\phi_4}{\longrightarrow}\mathrm{Image}(\phi_4)\longrightarrow 0$$ $$\vdots$$ donde cada secuencia después de la primera comienza con la correspondiente cokernel (bueno, también lo hace a la primera, pero esto es sólo $M_1$) y termina con la imagen relevante. He abusado de la notación aquí escribiendo $\phi_n$ para los mapas de la cokernel que en un principio desde el módulo correspondiente; esto no es un problema grave debido a la exactitud de la secuencia original se asegura de que los naturales de los mapas (que se define mediante el envío de una clase de equivalencia a la imagen de un representante) va a estar bien definidos. Uno podría escribir esto como una única cadena larga como la que usted propone, pero prefiero que no.