Lógica combinatoria

Question

Digamos que tienes una bolsa con una bola negra, dos blancas y tres rojas. ¿Cuántas ¿Cuántas maneras diferentes puedes coger las bolas?

Ahora he intentado visualizar el problema en mi cabeza, y lo he escrito en mi papel, pero sigo sin poder entender la lógica cuando se trata de combinatoria.

Sí, entiendo que tenemos un total de 6 bolas. Lo que significa que para la primera bola que elegimos tenemos 6 posiciones, ahora aquí es donde mi lógica se desvía. Ya que la segunda bola que elegimos puede ser blanca, y hay dos bolas blancas. Entonces no tenemos 5 lugares para poner la segunda. Esto es porque una negra, seguida de dos blancas, y tres rojas es la misma combinación si entiendes lo que quiero decir. Ahí es donde mi intuición se pierde.

Cualquier ayuda sería En gran medida apreciado.

Answer 1

Imagina la $6$ bolas ya dibujadas, bien alineadas frente a ti. Un truco mental: las bolas no tienen color (por ahora), son todas blancas. Ahora tienes $2$ botes de pintura: uno negro y otro rojo.

¿De cuántas formas diferentes puedes pintar las bolas para que la condición de $1$ negro; $2$ blanco; y $3$ ¿se observa el rojo?

Empecemos con la pintura roja. Puedes darte el gusto de pintar el primero, el segundo y el tercero; el primero, el segundo y el cuarto, etc. En realidad queremos elegir $3$ bolas fuera de $6$ o $\binom{6}{3}=20$ y pintarlas de rojo.

Ya casi está... Ahora sólo tenemos que decidirnos sobre cuál de los restantes $3$ Las bolas se pintarán de negro. Hay $\binom{3}{1}=3$ opciones.

Los otros dos seguirán siendo blancos.

Para que quede claro: tenemos $\binom{6}{3}\binom{3}{1}=60$ formas de pintarlas.

Prueba empírica en R:

balls = c(rep("R",3), rep("W",2),"B"); 
sim = replicate(1e6, sample(balls)); ncol(unique(sim, MARGIN = 2))
    [1] 60

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que sacar todas las bolas por turno es lo mismo que disponerlas en fila (por ejemplo, en las posiciones 1 a 6); esto me parece un poco más fácil de pensar, por lo que me referiré a esta situación de ahora en adelante.

Método 1:

Imagina que las seis bolas (incoloras) ya están colocadas en una fila. Ahora, para contar el número de formas en que pueden estar dispuestas con 3 rojas, 2 blancas y la restante negra, podemos asignar los colores de las 6 bolas a posteriori.

Para empezar, una de las bolas debe ser negra: hay 6 opciones para elegir qué bola debe ser negra. Una vez decidido esto, necesitamos que dos de las 5 bolas restantes sean blancas - esto se puede hacer en ${5 \choose 2} = 10$ maneras. Las 3 bolas restantes deben ser rojas.

Por lo tanto, hay $6 \times 10 = 60$ formas de ordenar las bolas en el problema.

Método 2:

Asumiendo, por ahora, que cada bola es diferente/distinguible, hay $6!$ formas de disponer las 6 bolas en una fila (es decir, 6 opciones para la primera bola, 5 para la segunda, etc.) Me referiré a esto como el simplificado problema, a diferencia del actual problema.

En el actual problema, las dos bolas blancas son indistinguibles, es decir, no importa si las intercambias, sigue contando como la misma disposición. Por lo tanto, cada disposición distinta en el actual El problema se ha contado dos veces.

Del mismo modo, las tres bolas rojas son indistinguibles; consideremos una única disposición que inicialmente contamos en nuestro simplificado problema. Para cada arreglo, podemos mantener fijas las bolas no rojas, y reordenar el orden de las bolas rojas, y cada uno de estos reordenamientos no contaría como un nuevo arreglo en el actual problema. ¿Pero de cuántas maneras podemos reorganizar estas tres bolas rojas manteniendo fijas las posiciones de los otros colores? Bueno, hay 3 bolas rojas, así que se pueden ordenar/intercambiar en $3!$ maneras. Es decir, en nuestro simplificado problema, contamos cada disposición distinta en nuestro actual problema $3!$ veces (suponiendo que se puedan distinguir las bolas rojas).

Así que, para resumir, en el simplificado problema, cada disposición distinta en el actual problema se contó dos veces suponiendo que las dos bolas blancas se podían distinguir, y de hecho se contó cada una de ellas $3! = 6$ veces asumiendo que las tres bolas rojas se pueden distinguir.

Por lo tanto, el número de disposiciones distintas en el actual El problema es $\frac{6!}{2 \cdot 3!} = 60$ .

Answer 3

Voy a suponer que con "cuántas formas diferentes" quieren decir "cuántas ordenaciones diferentes".

Si todas las bolas fueran únicas, habría $6!$ formas de ordenar las seis bolas. Sin embargo, esto cuenta doblemente con muchos arreglos, porque no todos los ordenamientos de las seis bolas producen un patrón único discernible.

Imagina un ejemplo más sencillo en el que tuviéramos cinco colores, y que las bolas fueran $Red_1,Red_2,Black,blUe,White,Green$ . Dada cualquier disposición de las bolas (por ejemplo $RUGBWR$ ) vemos que al cambiar las dos bolas rojas el patrón de color es el mismo. Así que $R_1UGBWR_2$ es idéntico a $R_2UGBWR_1$ . Esto significa que si enumeramos los $6!$ permutaciones, repetimos cada patrón dos veces y así la respuesta es $6!/2$ .

Ahora imaginemos que tenemos tres bolas rojas. Ahora cuando miramos el patrón $R_1WGR_2BR_3$ vemos que cualquier permutación de las tres bolas rojas produce el mismo patrón. Así, cuando enumeramos las $6!$ total de permutaciones tenemos $3!=6$ repeticiones de cada patrón, por lo que la respuesta es $6!/3!$ .

Lo que ocurre aquí en general es que cuando tenemos una disposición de objetos, hay un cierto número de formas de permutar los objetos que no cambian realmente el patrón. Estas permutaciones forman algo llamado el grupo de simetría del arreglo. Hay todo tipo de matemáticas interesantes relacionadas con los grupos de simetría, pero lo que importa para problemas como éste es que podemos contar el tamaño del grupo de simetría y dividir el número total de arreglos por ese número para obtener el número de arreglos diferentes.

Hasta ahora sólo he hablado de cómo tener en cuenta una simetría. En tu modelo, hay dos simetrías diferentes: la de las bolas blancas y la de las bolas rojas. Como la simetría roja y la blanca son totalmente independientes -no hay restricciones para la simetría blanca en función de la roja y viceversa-, podemos simplemente multiplicar el número de simetrías. Así, la respuesta es $6!/2!/3!=60$ donde la primera división es para los blancos y la segunda para los rojos.

En algunos escenarios más complicados, habrá una interdependencia entre la forma de cambiar las bolas rojas y blancas, pero es poco probable que te encuentres con eso hasta que estudies algo de teoría de grupos (el campo de las matemáticas que estudia las simetrías de los objetos).