Que $X$ sea un espacio topológico, $A$ un subespacio contractible de $X$ y $f : X \rightarrow X/A$ el mapa del cociente. Quiero decir que $f$ siempre induce un isomorfismo entre grupos fundamentales, o al menos que lo que hace bajo ciertos supuestos (por ejemplo, cuando $X$ es un complejo de CW), pero no veo cómo esto Mostrar explícitamente excepto cuando $X$ es un finito gráfico y $A$ es un árbol en $X$. ¿Hay una manera de probar esto en general, o por lo menos en un caso más general de gráficos finitos?
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failexam
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El resultado no es cierto en general.
Tomar el $X=S^1$, $A=S^1 -\{N\}$, $N$ que el Polo Norte. es contractible $A$ $X/A$ es el espacio de Sierpiński, es contractible (y por lo tanto tiene un grupo fundamental trivial), y $X$ tiene un no trivial grupo fundamental.
Hay un resultado que establece:
Si el mapa de $i:(A,x_0)\hookrightarrow (X,x_0)$ es un cofibration, y $A$ es contráctiles, a continuación, la proyección de $p:(X,x_0)\to (X/A,\ast)$ es un homotopy de equivalencia.
En particular, si $(X,A,x_0)$ es un pariente de CW-complejos, entonces la inclusión $i:(A,x_0)\hookrightarrow (X,x_0)$ es un cofibration. Desde homotopy equivalencias inducir isomorphisms fundamentales de los grupos, la inducida por el mapa $$p_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(X/A,\ast)$$ es un isomorfismo en este caso.
Para mostrar esto, vamos a $$H:A\times I\to A,\quad H(a,0)=id_A(a)=a,\quad H(a,1)=x_0$$ ser un homotopy dando a $A\simeq\ast$. Desde $i$ es un cofibration, esto puede ser extendido a un homotopy $K:X\times I\to X$ satisfactorio $$K(x,0)=id_X(x)=x,\quad K(a,1) = H(a,1)=x_0.$$ Por la característica universal de cocientes, el mapa de $K|_{X\times\{1\}}:X\to X$ factores a través de un mapa de $k:X/A\to X$ tal que $K|_{X\times\{1\}}=k\circ p$. Por lo tanto, $k\circ p\simeq id_X$.
Siguiente, como $p\circ K|_{A\times I}=\ast$, $K$ factores a través de un homotopy $\overline{K}:X/A\times I\to X/A$ tal que $\overline{K}\circ(p\times id_I)=p\circ K$. No es difícil comprobar que $\overline{K}$ da $id_{X/A}\simeq p\circ k$.
Para una referencia, todo lo expuesto anteriormente es en Switzer de la Topología Algebraica, capítulo 6.
