Estoy tratando de construir algunos ejercicios por la tangente de funciones para estudiantes principiantes en el análisis matemático. En particular, me gustaría sugerir el estudio de las funciones polinómicas $ y = p (x) $ de los cuales es posible determinar la gráfica con métodos de primaria y también a determinar (si existe) de la $n$-tangente, es decir, una línea recta $ y = mx + q $ ($ m \ne 0$para evitar trivial soluciones) que ha $ n $ distintos puntos de tangencia con la gráfica y no a otros puntos de intersección con él, para que el sistema $$ \begin{cases} y=p(x)\\ y=mx+q \end{casos} $$ ha $n$ doble soluciones.
Para bi-tangentes puedo encontrar, por ejemplo, funciones de la forma: $$ y= a(x^4-3k^2x^2+2k^3x) $$ que tienen como bi-tangentes a las líneas rectas $$ y=2ak^3x-\dfrac{9}{4}ak^3 $$ o: $$ y=\left( \dfrac{1}{4}x^4 -\dfrac{3k}{2}x^3+\dfrac{9k^2}{4}x^2-k^3x\right) $$ con bi-tangentes $y=ak^3x$.
Sin embargo, no puedo encontrar un ejemplo con un $ 3 $ -tangente, es decir, un polinomio de sexto grado $ y = p (x) $ tal que $ p (x) $ $ p '(x) $ son degradables (más o menos fácilmente) en factores de grado $n \le 2$, y que al mismo tiempo tiene un $3$-tangente tal que llega a los puntos de tangencia puede ser determinado sin el uso de la fórmula general para resolver una ecuación cúbica. Alguien sabe cualquier función de este tipo, o puede sugerir una forma eficaz de encontrar?
En otras palabras: encontrar una función: $$ y=a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $$ tal que $ y $ $y'$ son factorizable con factores de grado $n \le 2$ y no existe $m,q \in \mathbb{R}$ (o mejor $\in \mathbb{Q}$) tales que $$ a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+(a_1-m)x+a_0-p =a_6\left( x^3+Bx^2+Cx+D\right)^2 $$ y el segundo, $3^{rd}$ grado del polinomio también es factorizable.
Añadido después de la Respuesta.
La respuesta de Michael Burr no se ajustan a la solicitud de que $f(x)$ $f′(x)$ tiene raíces que podemos encontrar la solución de ecuaciones de grado $\le 2$.
Aquí resumir y un poco de generalizar el problema:
Deje $f(x) \in \mathbb{R}[x]$ ser un polinomio de grado $2n > 4$ $f'(x) $ sus derivados. Quiero determinar los coeficientes de $f(x)$ tal manera que:
todas las raíces reales de $f(x)$ $f'(x)$ se puede encontrar la solución de ecuaciones de grado $\le 2$, y $m,q \in \mathbb{R}$ tales que el polinomio $g(x)=f(x)+mx+q$ $n$ doble raíces.
O la prueba de que un polinomio se puede no existe.
