¿Existe un anillo conmutativo con un "determinante generalizado"?

Question

¿Existe una

anillo conmutativo(-con-a-1) $R$
y
entero positivo $n$
y
función $\hspace{.04 in}f$ de [el conjunto de $n$ -por- $n$ matrices sobre $R$ ] a $R$

tal que

$f$ es lineal en cada fila y cada columna por separado
y
$f$ de la $n$ -por- $n$ la matriz de identidad es $1_R$
y
para todos $n$ -por- $n$ matrices $M\hspace{-0.03 in}$ , si $M$ es invertible entonces $\hspace{.04 in}f(M)$ es un unidad
y
$f$ es no la restricción de determinante a $\hspace{.04 in}f\hspace{.02 in}$ El dominio de la empresa

?

Estoy inspirado por esta respuesta .

Answer 1

Para $R=\mathbb Z/4\mathbb Z$ el permanente tiene todas las propiedades que enumeras, y se diferencia del determinante cuando $n\ge 2$ .

(Para cualquier matriz, la diferencia entre su permanente y su determinante es un múltiplo de $2$ Así que en $\mathbb Z/4\mathbb Z$ la permanente es una unidad si el determinante lo es).

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En general, podemos establecer $R=\mathbb Z/m\mathbb Z$ siempre que $m$ es no libre de cuadrados, y luego dejar que $\bar m$ sea el producto de $m$ factores primos ( sin multiplicidad) y considerar $$ f((a_{ij})) = \sum_{\sigma \in S_n} (h(\sigma) + \operatorname{sgn}(\sigma))\cdot \prod_i a_{i,\sigma(i)} $$ para cualquier función $h: S_n \to \bar mR $ tal que $h({\rm id})=0$ . Si $h$ no es idéntico a cero, entonces $f$ diferirá del determinante, pero satisfará todas sus condiciones.