Mostrando que los elementos cuasi regulares correctos son invertibles

Question

Estoy tratando de mostrar que un derecho cuasi elemento regular $(\neq 0$ o $1$) en un anillo de $R$, donde todos los elementos diferentes de $1$ son derecho cuasi regular, es invertible.

Me las he arreglado para mostrar que un elemento es regular iff invertible, así que estaba esperando para demostrar que mi elemento es regular, pero no puede ver cómo utilizar este. Cualquier sugerencias? Yo también estoy interesado en lo que el significado detrás de estas propiedades son, parecen muy arbitrario!

(Por lo regular me refiero a un elemento a en un anillo de $R$ tal que $aba=a$ algunos $b$$R$. Por la derecha, casi regular, me refiero a un elemento tal que $a + x -ax=0$ algunos $x$$R$.)

Answer 1

Voy a dar una primaria prueba de que todo el derecho cuasi-regular el elemento $a \in R\setminus \{0,1\}$ es invertible. Para ello vamos a comprobar:

1. La única idempotente elementos en $R$$0$$1$;
2. Todos los no-cero elemento regular en $R$ es invertible;
3. Todo el derecho cuasi-regular el elemento $a \in R\setminus \{0,1\}$ es invertible.

Prueba de 1: Tenga en cuenta que si $e$ es un elemento idempotente en $R$, $e$ es regular y por lo tanto cualquiera de las $e=1$ o $e$ es derecho cuasi-regular. Si $e$ es derecho cuasi-regular tenemos $e + x - ex=0$ algunos $x$$e = e^2 +ex - e^2x = e(e+x-ex)=e0=0$. De ello se desprende que cada elemento idempotente en $R$ es $0$ o $1$.

Prueba de 2: Supongamos que $a$ es un elemento regular y $a \neq 0$, entonces por definición no existe $b$ tal que $aba=a$ y, por tanto, $ab$ $ba$ son idempotente (es decir,$(ab)(ab)=(aba)b=ab$$(ba)(ba)=b(aba)=ba$). Desde $ab$ puede no ser $0$ porque $a=aba=0$ se sigue de 1$ab=1$, y del mismo modo que $ba=1$. Esto demuestra que todos los no-cero regular elemento es invertible.

La prueba de 3: Supongamos que $a$ es un derecho de regular elemento tal que $a \neq 0$$a \neq 1$. Por supuesto, existe $x$ tal que $a + x -ax=0$. De ello se desprende que $(1-a)(1-x) = 1-x-a+ax=1$ y, por tanto,$(1-a)(1-x)(1-a) = 1-a$, de modo que $1-a$ es un no-cero elemento regular. Por supuesto, existe $y$ tal que $1-a + y -(1-a)y=0$. Sin embargo, esto significa que $1 -a + ay=0$ y, por tanto,$1 = a -ay= a(1-y)$. Esto significa que $a(1-y)a=a$ y, por tanto, $a$ es invertible por 2.

Answer 2

Probablemente estos resultados servirán para resolver su pregunta

1. En un anillo arbitrario $R$ si $rad(R)\neq R$ $rad(R)=\{r\in R| \forall x,y\in R: \;xry\mbox{ is right quasi-regular}\}$

prueba: Recuerde que $Rad(M)=\bigcap\{M|M\mbox{ maximal modular right ideal of }R\}$ y deje $H=\{r\in R| \forall x,y\in R: \;xry\mbox{ is right quasi-regular}\}$. Tenga en cuenta que si un elemento $a\in R$ no es un derecho cuasi-regular, a continuación, hay un modular ideal maximal $M$ tal que $a\notin M$. de esta manera, si $a$ no es correcto cuasi-regular, el ideal de derecho $S=\{at-t| t\in R\}$ no contiene $a$.

En particular, la aplicación de los Zorn Lema se puede ver que no existe un derecho ideal $M$ maximal en el conjunto de todos los ideales que contiene $S$, pero no el elemento $a$. por otra parte, es fácil comprobar que este ideal es un derecho máxima en $R$. Por otro lado $M$ es modular desde $ar-r\in M$ por cada $r\in R$, por lo que si $b\notin H$ hay elementos $x$, $y$ en $R$ tal que $xby$ no es correcto cuasi-regular. entonces hay una máxima modular ideal de derecho, que no contenga $xby$ y, por lo tanto, no contiene $b$, e $b\notin Rad(R)$.

Por el contrario, uno tiene que probar primero que si $M$ es la máxima modular ideal de derecho en $R$ $H\subseteq (R:M)=\{s\in R| \forall m\in M, sm\in R\}$ (la prueba de esta propiedad se puede encontrar en T. Y. Lam, un primer curso de no conmutativa de anillo o de cada libro en el anillo de la teoría). Desde $rad(R)\neq R$ entonces existe una máxima modular ideal de derecho $M$$R$$H\subseteq \bigcap\{(R:M)| M\mbox{maximal modular right ideals in }R\}$. Por lo tanto $RH\subseteq M$ por cada $M$ $M$ ser modular, también tenemos $H\subseteq M$. Finalmente, $H\subseteq rad(R)$.

2. En un anillo con identidad $R$, $rad(R)=\{r\in R|\forall s\in R\mbox{ the element }1-rs \mbox{ is right invertible}\}$.

prueba: Es el momento de utilizar la observación, se ve que en un anillo con identidad $R$ elemento $r\in R$ es derecho cuasi-regular si y sólo si es a la derecha invertible ($r+s-rs=0\Leftrightarrow (1-r)(1-s)=1$). Ahora, tenemos que definir

$M=\{r\in R|xry \mbox{ is right quasi-regular in }R,\forall x\in R\}$ $N=\{r\in R|xr \mbox{ is right quasi-regular in }R,\forall x\in R\}$ , debido a que el anillo de tener identidad, a continuación,$M \subseteq N$. Por otro lado, si $xr+t-xrt=0$$xry+ty-xrty=(xr+t-xrt)y=0$$N\subset M$, y usted puede utilizar el resultado anterior, por lo que la identidad se hace.