Los valores enteros de $ \frac {x}{y}+ \frac {y}{z}+ \frac {z}{x}$ ?

Question

¿Cuáles son los posibles valores enteros de $$ \frac {x}{y}+ \frac {y}{z}+ \frac {z}{x}$$ donde $x$ , $y$ y $z$ son números enteros positivos?

Mi sospecha es que los únicos valores enteros son $3$ y $5$ el primero es alcanzable siempre que $(x,y,z)=k(1,1,1)$ y esta última se puede lograr cuando $(x,y,z)=k(1,2,4)$ . Esta sospecha sólo se basa en jugar con los números por un tiempo. Intenté multiplicar los factores y usar argumentos de divisibilidad, pero no salió nada.

Esta pregunta está motivada por este uno, por lo que me interesa especialmente si la suma dada es alguna vez igual a $4$ .

Mis sospechas han resultado ser bastante erróneas. Por favor, vea varios ejemplos de otras soluciones en los comentarios y respuestas.

Answer 1

Describiendo todos los valores de $m$ tal que la solución correspondiente $(x,y,z)$ existe es un problema abierto. Para la referencia (bastante antigua, sin embargo), ver el libro de Serpinskii, Observación después de la solución del problema 155. El libro está disponible aquí: http://www.isinj.com/aime/250%20Problems%20in%20Elementary%20Number%20Theory%20-%20Sierpinski%20(1970).pdf

Sin embargo, algo se sabe. Por ejemplo, la ecuación $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=m$$ no tiene solución en números enteros positivos $(x,y,z)$ para $m=4n^2$ , donde $n∈Z$ y $3$ no divide $n$ . Por otro lado, si $m=k^2+5$ , $k\in\mathbb{Z}$ entonces nuestra ecuación tiene solución.

La idea clave para construirlo es observar que es $(a,b,c)$ es una solución de $$a^3+b^3+c^3=mabc,$$ entonces se puede tomar $x=a^2b, y=b^2c, z=c^2a,$ para producir la solución de la ecuación dada. Ahora, para $m=k^2+5,$ se puede tomar fácilmente $a=2,b=k^2-k+1$ y $c=k^2+k+1.$

Por lo tanto, su pregunta especial para $m=4$ se resuelve. Para la referencia, A.V. Bondarenko.

Investigación de una clase de ecuaciones diofantinas. (Resumen en ruso, inglés y ucraniano) Ukraïn. Mat. Zh. 52 (2000), no. 6, 831--836;

Answer 2

Uno de los métodos: $p=\dfrac{x}{y}$ , $q=\dfrac{y}{z}$ , $r=\dfrac{z}{x}=\dfrac{1}{pq}$ .

(uno de ellos debe ser $\le 1$ ).

$$ p+q+\dfrac{1}{pq}=n, $$

$$ p^2q+pq^2+1-npq=0, $$

(ecuación cuadrática en $q$ ): $$ p\cdot q^2 + (p^2-np)q+1=0 $$

$$ q_{1,2}=\dfrac{np-p^2\pm\sqrt{p^4-2np^3+n^2p^2-4p}}{2p}. $$

Para ser $q_{1,2}$ racional, debe ser

$$ p^4-2np^3+n^2p^2-4p = s^2, \qquad s\in \mathbb{Q}. $$

Si $p=\dfrac{a}{b}$ entonces $(x,y,z)=(2ab, 2b^2, abn-a^2\pm s)$ (después de matar todos los factores comunes).

Por supuesto, el desplazamiento cíclico de $x,y,z$ puede aplicarse aquí.

De esta manera, podemos encontrar algunos valores enteros de $n$ para vlues no tan grandes de $x,y,z$ (véase el cuadro siguiente):

\begin {array}{|c|ll|} \hline n & (x,y,z) & \\ \hline 3 & (1,1,1) & \\ \hline 5 & (1,2,4) & \\ \hline 6 & (4, 3, 18) & = (1 \cdot 2^2, 3 \cdot 1^2, 2 \cdot 3^2) \\ & (9, 2, 12) & = (1 \cdot 3^2, 2 \cdot 1^2, 3 \cdot 2^2) \\ \hline 9 & (12, 63, 98) & =(3 \cdot 2^2, 7 \cdot 3^2, 2 \cdot 7^2) \\ & (18, 28, 147) &= (2 \cdot 3^2, 7 \cdot 2^2, 3 \cdot 7^2) \\ \hline 10 & (175, 882, 1620) & = (7 \cdot 5^2, 18 \cdot 7^2, 5 \cdot 18^2 ) \\ & (245, 450, 2268) & = (5 \cdot 7^2, 18 \cdot 5^2, 7 \cdot 18^2) \\ \hline 13 & (1053, 6422, 12996) & =(13 \cdot 9^2, 38 \cdot 13^2, 9 \cdot 38^2) \\ & (1521, 3078, 18772) & = (9 \cdot 13^2, 38 \cdot 9^2, 13 \cdot38 ^2) \\ \hline 14 & (98, 52, 1183) & = (2 \cdot 7^2, 13 \cdot 2^2, 7 \cdot 13^2) \\ & (338, 28, 637) & = (2 \cdot 13^2, 7 \cdot 2^2, 13 \cdot 7^2) \\ \hline 17 & (1620, 925, 24642) & = (5 \cdot 18^2, 37 \cdot 5^2, 18 \cdot 37^2) \\ & (6845, 450, 11988) & = (5 \cdot 37^2, 18 \cdot 5^2, 37 \cdot 18^2) \\ \hline 18 & (22932, 16055, 379050) \\ & (117325, 7098, 167580) \\ \hline 19 & (25, 9, 405) \\ & (81, 5, 225) \\ \hline 21 & (338, 84, 5733) \\ & (882, 52, 3549) \\ \hline 26 & (12996, 7371, 314678) \\ & (74529, 3078, 131404) \\ \hline 29 & (31347, 336518, 894348) \\ & (49923, 132678, 1424332) \\ \hline 30 & (882, 124, 20181) \\ & (1922, 84, 13671) \\ \hline 38 & (739900, 14341829, 27694870) \\ & (1596070, 3082100, 59741791) \\ \hline 41 & (2, 36, 81) \\ & (4, 9, 162) \\ & (196, 5, 350) \\ & (25, 14, 980) \\ & (3698, 124, 41323) \\ & (1922, 172, 57319) \\ \hline 51 & (1053, 13013, 53361) \\ & (1521, 6237, 77077) \\ \hline 53 & (28, 1323, 1458) \\ & (98, 108, 5103) \\ \hline 54 & (3698, 228, 139707) \\ & (6498, 172, 105393) \\ \hline 57 & (1825900, 32851, 2567110) \\ & (157339, 111910, 8745100) \\ 66 & (3, 126, 196) \\ & (9, 14, 588) \\ \hline 69 & (6498, 292, 303753) \\ & (10658, 228, 237177) \\ & (167580, 4720075, 11488218) \\ & (379050, 922572, 25985255) \\ \hline 83 & (225, 4941, 18605) \\ & (405, 1525, 33489) \\ \hline 86 & (10658, 364, 604513) \\ & (16562, 292, 484939) \\ \hline 94 & (12229083, 132678, 22292452) \\ & (894348, 490617, 82433078) \\ \hline 105 & (24642, 364, 919191) \\ & (16562, 444, 1121211) \\ \hline 106 & (1225, 54, 102060) \\ & (35, 66150, 2916) \\ \hline ... & ... \end {array}

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Es iv muy interesante que todos los valores fundados tienen forma

$$ (x,y,z)_1 = (a^2b, b^2c, c^2a);\\ (x,y,z)_2 = (b^2a, a^2c, c^2b). $$