Encuentre la suma de la serie$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^{4} + k^{2} + 1} $

Question

ps

Empecé factorizando el denominador como$$ S = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^{4} + k^{2} + 1} $ y$k^2+k+1$ El numerador deja un cuadrático con$k^2-k+1$ y$k$ o una constante con$k-1$ y$k+1$ Traté de escribir los términos individuales, por supuesto, fue inútil. ¿Cómo hago esto?

Answer 1

Entonces su término es igual a$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k^2-k+1}-\frac{1}{k^2+k+1}\right)$ $

Ahora note$(k+1)^2-(k+1)+1=k^2+k+1$, entonces su término es:$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k^2-k+1}-\frac{1}{(k+1)^2-(k+1)+1}\right)$ $

y puede aplicar una técnica de serie telescópica para establecer la suma de$n$ que es solo la mitad de$\frac{1}{1^2 -1 +1}-\frac{1}{(n+1)^2-(n+1)+1}$. Y si también está buscando el límite, la mitad de$\frac{1}{1^2 -1 +1}$.