Muestre que la serie$\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2a_n}{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2}$ es convergente.

Question

Supongamos que$a_i>0$ y$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{a_i}$ es convergente. Muestre que la serie$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2a_n}{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2}$ $ es convergente.

Como podemos obtener la convergencia de$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{a_1+a_2+\cdots+a_n},$ $, ¿es factible aplicar la prueba de Abel? O debería usar otros métodos?

Answer 1

Deje$A_n=a_1+\ldots+a_n$ y$A_0=a_1$. Podemos notar que$$ \sum_{n\geq 1}\frac{n^2 a_n}{A_n^2}=\sum_{n\geq 1}\frac{n^2 (A_n-A_{n-1})}{A_n^2}\leq\sum_{n\geq 1}\frac{n^2 (A_n-A_{n-1})}{A_n A_{n-1}}=\sum_{n\geq 1}n^2\left(\frac{1}{A_{n-1}}-\frac{1}{A_n}\right)$ $ y por sumatoria por partes$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{N}n^2\left(\frac{1}{A_{n-1}}-\frac{1}{A_n}\right)&=&N^2\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{A_N}\right)-\sum_{n=1}^{N-1}(2n+1)\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{A_n}\right)\\&=&\frac{1}{a_1}-\frac{N^2}{A_N}+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{2n+1}{A_n}.\end{eqnarray*}$ $ Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (en la forma del lema de Titu)$$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a_n}\geq \frac{N^2}{A_N} $ $, por lo tanto, es suficiente para mostrar que$\sum_{n\geq 1}\frac{2n+1}{A_n}$ es convergente. Esto es otorgado por la desigualdad de Knopp: vea el ejercicio 212 de mis notas (página 109):$$ \sum_{n\geq 1}\frac{2n+1}{A_n}\leq 4\sum_{n\geq 1}\frac{1}{a_n}.$ $