¿Probabilidad de que una matriz aleatoria tenga rango de columna completo?

Question

Se sabe que para una matriz aleatoria $A\in \mathbb{C}^{M\times K}$ con $M>K$ si cada elemento es i.i.d. generado por Gauss, entonces $A$ tiene rango de columna completo con probabilidad uno.

Ahora, supongamos que cada elemento de $A$ es en forma de $e^{j\theta}$ , donde $\theta$ son i.i.d. distribuidos uniformemente en $(0,2\pi)$ . ¿Puedo demostrar que $A$ tiene rango de columna completo, con probabilidad uno? Gracias.

Answer 1

Sí, un resultado de esta forma es cierto de forma muy general. Es equivalente a probar que $k$ vectores $v_1, \dots v_k \in \mathbb{C}^m$ elegidos iid con respecto a la distribución dada por $e^{i \theta}$ en cada coordenada son linealmente independientes con probabilidad $1$ .

Esto es cierto con una distribución mucho más general sobre los vectores aleatorios: basta con que los vectores sean elegidos iid con respecto a cualquier distribución sobre $\mathbb{C}^m$ tal que la probabilidad de que el vector se encuentre en cualquier hiperplano particular que pase por el origen sea cero. Una gran clase de ejemplos es cualquier distribución con una fdp continua tal que la distribución inducida en la esfera unitaria dada por el muestreo de un vector aleatorio y su escalado a la longitud unitaria también tiene una fdp continua que no es cero en ninguna parte; en cualquier caso, su distribución cumple los requisitos.

Para demostrarlo, muestreamos los vectores $v_1, v_2, \dots$ uno a la vez, observando que en cada paso $\text{span}(v_1, \dots v_i)$ es como máximo un $i$ -subespacio dimensional de $\mathbb{C}^m$ y, por tanto, por hipótesis $v_{i+1}$ lo evita con probabilidad $1$ .