Por favor me ayude a quitar Feynman ' s $\log_{10}$ de mi ojo.

Question

Estoy disfrutando de la Feynman Lectures, Volumen I, Capítulo 22, especialmente la sección 22-4, en donde Feynman genera el logaritmo natural en base de bambú y de cocos. Debo confesar, me perdí un poco en la Tabla 22-1, donde la narración se parece un poco a mano ondulada con respecto a la columna, $(\mathrm{10}^{s}-1)/s$.

Veo que este toma el bit después del punto decimal en la potencia de diez y lo divide por el poder. Tal vez eso nos daría la tasa de incremento de poco después de la coma decimal, la pendiente en el "exponente frente a el-poco-después-de-la-decimal" gráfico como el exponente se aproxima a cero, lo que poco aumenta por incremento en el exponente?

Definitivamente estoy falta el punto. Latas de alguien arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

No puedo seguir Feyman de la heurística (y no estoy seguro de si hay algo ahí).

Cuando dice que no hay un método mejor, lo que está haciendo (sin contar) es escribir, para $\Delta$ pequeños, $$\etiqueta{1} 10^\Delta=e^{\Delta\,\log 10}\simeq1+\Delta\log 10. $$ Así que él dice que esta es una mejor aproximación: $\log10$ es el número "$2.3025$" que menciona.

La cuarta columna es un método para encontrar $\log 10$: usted tiene $$ \frac{10^s-1 s}=\frac{e^{s\log 10}-1}=\frac{1+s\log 10+o(s^2)-1}=\log10+o(s). $$ Por lo tanto los números en la cuarta columna de hecho converger a $\log10$, que puede ser utilizado para la aproximación a $(1)$.

Answer 2

Yo no podía entender por completo su pregunta, pero permítanme explicar lo que yo entiendo de la tabla y el trabajo de Feynman. Espero que ayude.

Paso 1) Calcular el $10^s$ columna. Esto se hace tomando raíces cuadradas.

Paso 2) Hacer una importante observación:
En lugar de continuar con el paso 1, se observa que la \begin{equation} \frac{10^s - 1}{s} \to c \end{equation} va a alguna constante c. Y crucial de la observación de los cambios se $211,104,53,26$; todos ellos son aproximadamente la mitad de la anterior. Por lo tanto, sin ningún tipo de cálculo más, que va a cambiar de aproximadamente 26. Aquí creo que puede ser útil tener en cuenta que; \begin{equation} 2.3234 - 0.0211 = 2.3023\\ 2.3130 - 0.0104 = 2.3026\\ 2.3077 - 0.053\ \ = 2.3024\\ 2.3051 - 0.026\ \ = 2.3025 \end{equation} donde la última se utiliza.

Paso 3), Ya que determinamos $c$$2.3025$, resolver de nuevo. \begin{equation} 10^s = 1+2.3025s \end{equation} y deje $s = \Delta/1024$; \begin{equation} 10^s = 1+0.0022486\Delta \end{equation}

Como sigue; para calcular el logaritmo de $2$, se observa que 2 puede escribirse como el producto de los números en la columna 3, donde ya hemos calculado tomando raíces cuadradas y un último bit es demasiado pequeño y no en la columna 3. De ahí viene el papel de la $\Delta$. Él resuelve; \begin{equation} 1.000573 = 1 + 0.0022486\Delta \implies \Delta = 0.254 \end{equation} Tenga en cuenta que esta es la corrección de la orden de 4 cifras, y ables él para aproximar $s$ hasta 5 cifras.