Las "constantes" de una estructura (teoría modelo)

Question

Una estructura está compuesta por el dominio, constantes, la relación de los símbolos, y los símbolos de la función. Entiendo que todos los ingredientes de una estructura de inmediato, excepto para las constantes. La definición en mi libro (Una más Corta Modelo de la Teoría) es

Un conjunto de elementos de $A$ llama constante de elementos, cada uno de los cuales es nombrado por uno o más constantes. Si $c$ es una constante, podemos escribir la $c^A$ para el elemento constante nombrada por $c$.

Un ejemplo de una estructura con constantes es

$$\langle \mathbb{R}, +, -, \cdot, 0,1, \le \rangle$$

Entiendo que $0$ $1$ son especiales porque son los elementos de identidad para la suma y la multiplicación, respectivamente, pero ¿por qué son las constantes, y ¿en qué sentido debemos especificar ellos? Entiendo que puedo obtener una estructura totalmente si yo donde el uso de $<$ en lugar de $\le$, pero no veo qué es tan especial acerca de las constantes. ¿Por qué no tener una estructura del siguiente tipo:

$$\langle \mathbb{R}, +, -, \cdot, \frac{1}{2},\pi, \le \rangle$$

Es esto diferente y si es así, ¿en qué sentido? Visto como un grupo de $\mathbb{R}$ tiene muchas opciones de elementos, pero sólo un elemento de identidad para que yo pueda hacer sentido de especificar el elemento de identidad cuando se habla de un grupo, pero ¿en qué sentido son los símbolos relacionados con el cuando escribimos la estructura (o firma)?

Answer 1

Siempre he pensado que el tratamiento de las constantes como una clase separada de los símbolos es bastante tonta. Una constante es sólo un tipo especial de símbolo de función: $0$- ary símbolo de función. Sólo hay una manera de no dar entradas a una función, de modo que tal función debe dar siempre el mismo resultado.

Por lo tanto, si usted entiende el papel de los símbolos de la función, también entender el papel de la constante de símbolos! Las funciones son exactamente las mismas; las constantes son sólo funciones que no requieren de insumos con el fin de dar una salida. Cambio de la interpretación de un símbolo constante de $0$ $\frac{1}{2}$como lo sugieren muy mucho, le da una estructura diferente, tanto como el cambio de la interpretación de la función de símbolo $+$ a algunos otros binario de operación. Tanto en $\langle \mathbb{R}, +, -, \cdot, 0,1, \le \rangle$ $\langle \mathbb{R}, +, -, \cdot, \frac{1}{2},\pi, \le \rangle$ son perfectamente buenas estructuras, pero son diferentes estructuras, tanto como $\langle \mathbb{R},+\rangle$ $\langle \mathbb{R},\cdot\rangle$ son estructuras diferentes.

En cuanto a tu pregunta final:

¿en qué sentido son los símbolos relacionados con el cuando escribimos la estructura (o firma)?

La respuesta es "no"! Las relaciones y funciones que son parte de una estructura no necesita tener ninguna relación en absoluto, aparte de que son las relaciones y las funciones en el mismo conjunto subyacente.

Answer 2

Creo que la verdadera carne de tu pregunta es cuando escribe:

¿Por qué no tener una estructura del siguiente tipo: $$\langle \mathbb{R}, +, -, \cdot, \frac{1}{2},\pi, \le \rangle$$ Es diferente y si es así, ¿en qué sentido?

La respuesta es: sí, son muy diferentes, en concreto, que son no isomorfos. Voy a describir un poco cómo la elección de (interpretaciones) constantes (símbolos) en particular, puede afectar el isomorfismo tipo de estructura; voy a utilizar más simples ejemplos, pero se debe tener claro cómo abordar su ejemplo específico de la misma manera.

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Constantes - o más bien, las interpretaciones de la constante de símbolos - puede ser cualquier cosa que desee (es decir, todos los elementos de la estructura en cuestión), y cómo, precisamente, una constante símbolo es interpretado afecta el isomorfismo tipo de la estructura.

Específicamente, vamos a ver en el lenguaje de $L=\{\color{red}{ +}, \color{red}{ \times}, \color{red}{ c}\}$ por sencillez, donde la $\color{red}{ +},\color{red}{ \times}$ son binarias funciones y $\color{red}{ c}$ es una constante símbolo (y para mayor claridad, voy a utilizar un texto en rojo para los símbolos y negro habitual de texto para funciones reales/elementos - es decir, de las interpretaciones de los símbolos). Vamos a considerar dos estructuras:

• $\mathcal{A}=(\mathbb{R}; \color{red}{ +}^\mathcal{A}=+, \color{red}{ \times}^\mathcal{A}=\times, \color{red}{ c}^\mathcal{A}=0)$

• $\mathcal{B}=(\mathbb{R}; \color{red}{ +}^\mathcal{A}=+, \color{red}{ \times}^\mathcal{A}=\times, \color{red}{ c}^\mathcal{A}=17)$.

(Tenga en cuenta que $17$ es un tonto de verdad elección de interpretación para $\color{red}{ c}$ -, pero eso está bien! No hay ninguna regla sobre qué tipo de elemento de la estructura de una constante símbolo puede ser interpretado como: - se puede usar una constante para indicar cualquier elemento que sea. Podríamos igualmente bien han optado $\pi$ o $\sqrt{2}$.)

Hay una natural bijection entre estas dos estructuras, a saber, la identidad $id: r\mapsto r$.

Es $id$ un isomorfismo?

Bien, para ser un isomorfismo es preservar todos los "básicos" de las fórmulas (y ser bijective); en este caso, el "básico" fórmulas son:

• $x\color{red}{+}y=z$.

• $x\color{red}{\times}y=z$.

• $x=\color{red}{ c}$.

Es fácil ver que la última de estas es que no se conserva por $id$: tenemos $$\mbox{$\mathcal{A}\models 0=\color{red}{ c}^\mathcal{A}\quad$ but $\quad\mathcal{B}\modelos\neg id(0)=\color{red}{ c}^\mathcal{B}$.}$$

Esto significa que $id$ no es un isomorfismo.

Ejercicio: no hay isomorfismo entre el$\mathcal{A}$$\mathcal{B}$. SUGERENCIA: muestre que tal isomorfismo debe enviar $0$ $0$...

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Ahora, usted podría objetar que $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ "realmente" el mismo, la única diferencia está en el tonto elección de la evaluación de la $\color{red}{ c}$. Pero isomorfismo es una noción precisa; no toma en cuenta o no, ya creo que parte de la estructura es "tonta". Dicho esto, aquí hay un par de hechos relevantes:

• $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ do han isomorfo reducts (cuando nos olvidamos de la constante símbolo $\color{red}{ c}$): dejar $L_0=\{\color{red}{ +}, \color{red}{ \times}\}$, $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ han reducts $\mathcal{A}_0=(\mathbb{R}; \color{red}{ +}^\mathcal{A}=+, \color{red}{ \times}^\mathcal{A}=\times)$$\mathcal{B}_0=(\mathbb{R}; \color{red}{ +}^\mathcal{A}=+, \color{red}{ \times}^\mathcal{A}=\times)$. Estos son, obviamente, isomorfo - de hecho, son literalmente la misma estructura.

• Por otra parte, en un sentido preciso $\mathcal{A}$ puede ser "recuperado de" $\mathcal{A}_0$ $\mathcal{B}$ puede ser "recuperado de" $\mathcal{B}_0$ - que es, $0=\color{red}{ c}^\mathcal{A}$ es definible en $\mathcal{A}_0$ $17=\color{red}{ c}^\mathcal{B}$ es definible en $\mathcal{B}_0$ (ejercicio ten en cuenta que esto no es cierto para todas las opciones posibles de las constantes, por ejemplo, la interpretación de $\color{red}{ c}$ $\pi$).

• Por lo $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ son "equivalentes" en un cierto sentido (es decir, que son bi-interpretable). Pero esto no es isomorfismo.

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He aquí una observación que creo que va a ayudar a aclarar cómo "rígido" la noción de isomorfismo es:

Mire en el idioma $S=\{\color{red}{ c_0}, \color{red}{ c_1}\}$ que consta sólo de dos constantes de símbolos, y pensar acerca de las estructuras $$\mathcal{C}=(\mathbb{R}; \color{red}{ c_0}^\mathcal{C}=0, \color{red}{ c_1}^\mathcal{C}=1)\quad\mbox{ and }\quad \mathcal{D}=(\mathbb{R}; \color{red}{ c_0}^\mathcal{C}=1, \color{red}{ c_1}^\mathcal{C}=0).$$ Then - perhaps surprisingly - the identity map $id$ no es un isomorfismo entre ellos desde

• No "enviar $\color{red}{c_0}$ $\color{red}{c_0}$" - tenemos $id(\color{red}{c_0}^\mathcal{C})=id(0)=0\color{green}{\not=}1=\color{red}{c_0}^\mathcal{D}$.

• No "enviar $\color{red}{c_1}$ $\color{red}{c_1}$" - tenemos $id(\color{red}{c_1}^\mathcal{C})=id(1)=1\color{green}{\not=}0=\color{red}{c_1}^\mathcal{D}$.

(Crucial desigualdades resaltada en verde.)

Ser un isomorfismo es un muy, muy estricta de la propiedad: realmente hay que preservar a toda la "información básica" acerca de la estructura exactamente como está escrito.

(Por cierto, $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ arriba son isomorfos por ejemplo, a través del mapa de intercambio de $0$ $1$ y dejando todo lo demás indiferente - como ejercicio, compruebe que este es el caso y, a continuación, cocinar un ejemplo de dos estructuras, que difieren sólo en el "intercambio" de un par de constante de símbolos, que no son isomorfos).

Answer 3

Una buena razón para especificar constantes en una firma para los modelos es que usted quiere asegurarse de que estos se conservan por homomorphisms. Considerar, como en tu ejemplo, la firma de ordenada campos de $\{ +, -, \cdot, 0,1, \leq \}$. Un homomorphism $f:A \to B$ de las estructuras de esta firma siempre satisfará $f(0_A) = 0_B$, y similar para $1$, mientras que esto no tiene que ser el caso para la firma de $\{ +, -, \cdot, \leq \}$.

Además, puede hacer referencia a las constantes en las fórmulas que a continuación cuantificador. Por ejemplo, considere un campo $K$. Dentro de la primera firma, la fórmula $\varphi(x) = (x = 0)$ es cuantificador libres, mientras que no es posible expresar la misma declaración en la segunda firma sin el uso de cuantificadores. Esto puede ser muy importante demostrar las propiedades de ciertas clases de modelos.