¿Cuál es el significado de la zona por dos curvas?

Question

Como dice el título, completamente no entender cuál es el significado del área entre dos curvas, en un sentido de aplicación. ¿Por ejemplo, si estaba provisto de las ecuaciones de dos curvas de velocidad, lo que hace el área entre algunas regiones de una media de b? ¿Es la distancia entre los dos objetos en movimiento?

Edit: Gracias a todos los que respondieron al post, fue todo muy útil :D

Answer 1

Yo diría que el significado de "el área entre dos curvas" en un contexto como el de la pregunta es, literalmente, que tiene dos funciones, cada una de las cuales ha sido se representa como una curva en un plano Cartesiano con el eje horizontal etiquetados apropiadamente, de modo que es la variable de entrada de ambas funciones; si esa variable es $t,$ el área entre las dos curvas de $a$ $b$significa que dibujar líneas verticales $t=a$ $t=b,$ y ahora las dos curvas y las dos líneas que delimita una región en el plano, y medimos el área de esta región.

Pero la gente también se utiliza la frase "área entre las curvas" como una especie de metáfora verbal y/o gráfica de una abreviatura de una integral definida de la diferencia de dos funciones. La base de esta metáfora es que, en muchos casos, podemos calcular el área limitada por las gráficas de dos funciones y por dos líneas verticales tomando una integral definida de la diferencia de esas dos funciones. El problema con la metáfora es que si integramos $f(t) - g(t)$ más de un intervalo en el que $f(t)$ a veces menos de $g(t),$ terminamos con las regiones del plano cuya área tiene que ser restado del total de la "zona" con el fin de tener la "zona" salir igual a la integral.

Y por último está la aplicación de "el área entre dos curvas" que a menudo se reduce a saber que hay un proceso de algún tipo que es el aumento de una cantidad a una cierta velocidad, y otro proceso que es la disminución de la misma cantidad a una cierta velocidad, y el "área" (en realidad, la integral de la diferencia de estos dos tipos de tarifas integrado en un determinado periodo de tiempo) es el efecto acumulado de los dos procesos.

Así que si usted tiene dos objetos que se mueven a lo largo de la misma línea recta, a partir del mismo punto en el tiempo $a,$ y la velocidad de cada objeto es qué tan rápido se está moviendo a la derecha, entonces, si la velocidad del objeto número $1$ está dado por $v_1(t)$ y la velocidad del objeto número $2$ está dado por $v_2(t),$ la integral $$\int_a^b (v_1(t) - v_2(t))\, dt$$ me dice que cuánto más a la derecha del objeto de número de $1$ en comparación con objeto de $2$ tiempo $b.$ Esto también pasa a ser numéricamente igual al área entre las gráficas de las dos funciones de velocidad de $a$ $b,$con las salvedades que esto sólo funciona si elegimos todas nuestras unidades adecuadamente y que si $v_1$ nunca descienda por debajo del $v_2$ en el gráfico a continuación tenemos que tratar partes del área entre las dos curvas como "área negativo."

En una aplicación como la que, desde mi punto de vista es que lo que la gente realmente quiere hacer es integrar la diferencia de dos funciones (que por supuesto es en sí misma una función), y la frase "área entre las curvas" es sólo su forma de decir que les gustaría visualizar esta integral por el trazado de las gráficas de estas dos funciones en un plano Cartesiano.

Answer 2

Si tienes una gráfica de velocidad vs tiempo para una partícula en movimiento, es decir, el eje y indica la velocidad y el eje x indica el tiempo, entonces el área bajo el gráfico indica el desplazamiento de la partícula. Entonces, el área entre dos gráficas le dirá la diferencia de desplazamiento entre las posiciones iniciales y final de las partículas.

Answer 3

Realmente representa las siguientes cantidades

1. Desplazamiento relativo si te planteas firmado área, $$r_{1|2}=\int(v_1(t) - v_2(t)) dt$ $

2. (Editar) La siguiente integral (el área entre las dos parcelas) no representa cualquier cantidad formal:

$$ \int|v_{1} (t) - v_2 (t)| dt$$

Tenga en cuenta que la distancia entre las partículas se representa como:

$$d = \left|\int(v_1(t) - v_2(t)) dt \right|$$

que claramente no es igual al área entre dos gráficas.