¿Es una serie de energía uniformemente convergente en su intervalo de convergencia?

Question

Que $R>0$ sea el radio de convergencia de una serie de energía $Σa_nx^n$. ¿No es uniformemente convergente en $(-R,R)$? Mi libro sale de su manera de decir si $[a,b]⊂(-R,R)$, entonces la serie de potencias converge uniformemente en $[a,b]$. ¿No podemos simplemente decir que es uniformemente convergente en $(-R,R)$?

Answer 1

Jajaja Pensar en la serie geométrica converge (pero no uniformemente) a $$ 1 + x + x ^ 2 + \cdots = \frac{1}{1-x} $$ $(-1,1)$.

Answer 2

Jajaja Ejemplo: $ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$ $|x|<1$.

Supongamos que $s_n(x):=\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ converge uniformemente en $(-1,1)$ $\frac{1}{1-x}$.

Entonces, llegamos a $ \epsilon=1$ $N \in \mathbb N$ tal que

$\frac{|x|^{N+1}}{1-x}=|s_N(x)-\frac{1}{1-x}|<1$ % todos $x \in (-1,1)$.

Por lo tanto, $\lim_{x \to 1-}\frac{|x|^{N+1}}{1-x} \le 1$. Pero $\lim_{x \to 1-}\frac{|x|^{N+1}}{1-x}= \infty$, una contradicción.