Funcional ecuación $f(xyf(x+y))=f(x)+f(y)$

Question

Encontrar todas las funciones $f$ definido en el conjunto de los números reales sin el cero, la ecuación de satysfying $$f(xyf(x+y))=f(x)+f(y)$ $ todos $x\neq 0, y\neq 0$ y $x+y\neq0$ gracias

Edit: me enteré de que función $\frac{1}{x}$ es una solución pero no sé cómo probar no hay otros.

Answer 1

Supongamos que $f(u)\neq u^{-1}$ $u\in\Bbb{R}^{\times}$, así que el $x:=u-f(u)^{-1}\in\Bbb{R}^{\times}$. Que $y:=f(u)^{-1}\in\Bbb{R}^{\times}$ así que $x+y=u\in\Bbb{R}^{\times}$ y $f(x+y)=f(u)=y^{-1}$. Entonces $$f(x)+f(y)=f(xyf(x+y))=f(x),$ $ y por lo tanto $f(y)=0$, una contradicción. Así $f(u)=u^{-1}$ % todos $u\in\Bbb{R}^{\times}$.