Multiplicando una curva por un plano

Question

Hay un campo de las matemáticas que considera que la multiplicación de las funciones de una manera análoga a la multiplicación de la matriz? Por ejemplo,

1. Deje $\mathbf{x}$ $n$- dimensiones del vector tal que $x_i=\sin(2\pi \frac {i} {n}))$$i=1,\ldots, n$.
2. Deje $\mathbf{A}$ $n\times n$ matriz de donde $A_{i,j}=\cos(4\pi \frac {i} {n} - 2\pi \frac {j} {n})$ por cada $i,j$.
3. Deje $\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$, de modo que $y_i=\frac 1 2 \sin(4\pi \frac {i} {n})$.

Si nos imaginamos $n$ va al infinito, entonces podemos definir un operador, $\text{prod_fcn}$, de tal manera que $\text{prod_fcn}(x(t), A(t, s)) = y(t)$. Este ejemplo se ilustra gráficamente a continuación:

Obviamente, esto es sólo un ejemplo sencillo de una curva que se está "torcido" por un plano. Tengo curiosidad por saber si este tipo de operación funcional es un estudiados cosa. Si es así, cualquier información sobre esta, se agradecería.

Answer 1

Parece como si le faltara un factor de $1/n$?. Pero de lo contrario, su matriz suma corresponde para una aproximación discreta de la siguiente integral operador: $$L \phi(y) = \int_0^1 k(y,x) \phi(x) \; dx$$ donde$\phi(x)=\sin(2\pi x)$$k(y,x) = \cos(2\pi(2y-x))$. Un operador de la forma anterior y con continua (incluso mejor $C^1$) kernel $k(y,x)$ tiene muy buen propiedades, en particular, pueden estar bien aproximada por la discreta matriz de versión como en tu ejemplo.

Más en general las versiones son en $L^2$ cuando se trata de lidiar con Hilbert-Schmidt integral de los operadores. Pero tenemos que ser más cuidadosos cuando la aproximación mediante una matriz.

Uno puede construir Fredholm determinante para este tipo de operadores (que en el caso continuo, usted puede fácilmente aproximado por su matriz de versión). Esto permite por ejemplo, para calcular los autovalores para el operador.

Usted también puede tener una mirada en la Integral se transforma.

Estos son sólo algunos ejemplos de la utilización de la limitación de caso de la multiplicación de la matriz.