Estrategia para la irreductibilidad en $\mathbb{Z}[X]$

Question

En el estándar de álgebra abstracta plan de estudios, uno aprende una batería de irreductibilidad de las pruebas para factorizar polinomios de más de $\mathbb{Z}$ (lo que es equivalente, por Gauss lema,$\mathbb{Q}$). Por ejemplo (no todos los nombres de marcas estándar):

• Lineal Factor de Prueba: Un polinomio tiene una relación lineal factor de $\mathbb{Z}$ si y sólo si tiene una raíz en $\mathbb{Q}$.
• Cuadrática/Cúbicos de Prueba: Un polinomio de grado 2 o 3 es reducible si y sólo si tiene un factor linear.
• Método de la Fuerza bruta: Escribir las formas de todos los posibles factorizations. Por ejemplo, después de la comprobación de una cuártica de factores lineales, ver el $(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$. Obtener un sistema de ecuaciones para los coeficientes. Determinar si existen soluciones. Ugh. (Aunque, más factible sobre $\mathbb{Z}_p$.)
• Mod-$p$ Irreductibilidad de la Prueba: Si existe un prime $p$ de manera tal que un polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Z}_p$, entonces es irreducible sobre $\mathbb{Z}$.
• Eisenstein Criterio: Si existe un prime $p$ que divide a todos, pero el coeficiente de plomo, y cuyo cuadrado no dividir el término constante, entonces el polinomio es irreducible.
• La sustitución de trucos: La reducibilidad de un polinomio $f(X)$ está relacionado con la reducibilidad de otros polinomios como $f(aX+b)$ o la reversión $X^n f(1/X)$.
• Complejizar: factorizar el polinomio en factores lineales sobre $\mathbb{C}$. Todos los de mayor grado del divisor del polinomio es un producto de varios de estos factores lineales. Probar todos los productos de los lineales de los factores y comprobar que todos ellos tienen no enteros de los coeficientes. (Véase, por ejemplo, Jyrki Lahtonen la solución en este post).
• Casos especiales: E. g. cyclotomic polinomios son algo que usted sólo debe saber.

Estos se utilizan a menudo en combinación. Se puede probar que $X^4+X+1$ es irreducible sobre$\mathbb{Z}$, mostrando a es irreducible sobre $\mathbb{Z}_2$, que a su vez puede ser fácilmente realizada por la "fuerza bruta", ya que hay muy pocos cuadráticas $\mathbb{Z}_2$. Jyrki Lahtonen la solución en este post muestra que $f(X):=X^4-10X^2+1$ es irreductible, mediante la aplicación de Eisenstein con $p=2$ a la reversión de $\frac{1}{8} f(2X+1)$. (Precioso!)

¿Cómo hace uno para tener una idea de que trucos para intentar cuando? Existen infinitos números primos $p$ a probar con Eisenstein y mod-$p$ pruebas, aunque en la práctica $p$ tiende a ser pequeño. Permitir la sustitución trucos abre un amplio abanico de posibilidades. Estoy pensando, por analogía con la convergencia de las pruebas que se aprende en el cálculo. Uno puede probar diferentes enfoques hasta que uno de ellos funciona, pero uno también puede ver los patrones: una serie con poderes o factoriales es probable susceptible a la Prueba de razón, los términos de "orden menor" puede ser eliminada por el Límite de la Prueba de Comparación, en términos de saber cómo obligado puede ser manejado por la Prueba de Comparación, y las funciones sabes cómo integrar son candidatos prometedores para la Integral de la Prueba.

Hay análoga pistas para buscar aquí? ¿Cómo puede "oler" el que prueba es probable que el trabajo con el cual polinomio?

Answer 1

Ninguno de estos métodos de trabajo en general. Usted puede escribir polinomios irreducibles, a partir de creo en grado $4$, los cuales son reducibles $\bmod n$ para cada entero positivo $n \ge 2$, y, por consiguiente, sobre el que tanto el criterio de Eisenstein y la reducción de la $\bmod p$ fallar necesariamente. Hay una cierta teoría de Newton polígonos sobre el $p$-adics que se supone generalizar tanto de estos, pero nunca he aprendido.

La comprobación de irreductibilidad es muy difícil en general, y honestamente todavía no tengo grandes intuiciones acerca de lo que el método a utilizar cuando, me acabo de tirar todo lo que sé que en un polinomio hasta que algo se pega. Aquí es un gran ejemplo: MO alguien preguntó si el polinomio

$$x^n + p_1 x^{n-1} + p_2 x^{n-2} + \dots + p_n$$

es siempre irreductible, donde $p_i$ $i^{th}$ prime. He observado que en los comentarios que el coeficiente constante de ser primer significa que, si el polinomio era reducible, su irreductible factores que debe tener el término constante $\pm 1$ o $\pm p_n$, y el último caso ocurre exactamente una vez; en particular, se puede deducir que al menos uno de los complejos de raíz debe estar dentro de (o en) el círculo unidad y al menos uno de los complejos de raíz debe estar fuera de (o en) el círculo unidad. Así que si fuera posible descartar que fuera, el polinomio es irreducible. Y, a continuación, Bjorn Poonen fue capaz de descartar esto, mostrando que todas las raíces de este polinomio se encuentran fuera del círculo unidad.

La razón por la que se me ocurrió pensar acerca de la ubicación de las raíces complejas es una analogía a la prueba de Perron del criterio, que dice lo siguiente.

Perron del criterio: Vamos a $P(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$. Si $|a_{n-1}| > 1 + |a_{n-2}| + \dots + |a_0|$, $P(x)$ es irreductible.

Esto puede ser demostrado mediante Rouch del teorema para demostrar que la condición anterior implica que exactamente una de las raíces de $P$ se encuentra fuera del círculo unidad, y el resto debe permanecer estrictamente dentro. No vienen todos los que, a menudo, en la práctica, sin embargo.