El signo ± en raíz cuadrada

Question

Como yo estaba haciendo una pregunta SAT cuando me encontré con esta pregunta:

$\sqrt {x-a} = x-4$ Si $a=2$, ¿cuál es el conjunto solución de la ecuación?

Opciones

• {$3,6$}
• {$2$}
• {$3$}
• {$6$} Respuesta Correcta

He evaluado la ecuación y consiguió $0=(x-3)(x-6)$
Si usted poner estos números en la ecuación, usted debe conseguir:
Para el 3:
$\sqrt {3-2} = 3-4$
Desde $\sqrt {1} = ±1$
$±1 = -1$

Para las 6:
$\sqrt {6-2} = 6-4$
Desde $\sqrt {4} = ±2$
$±2 = 2$

Para la respuesta, (SAT) evaluaron $\sqrt {1}$ $\sqrt {1} = -1$ $\sqrt {4}$ $\sqrt {4} = 2$
¿Por qué es que $\sqrt {1}$ es igual a $-1$ e no $1$ y porqué $\sqrt {4}$ es igual a $2$ e no $-2$ ¿por Qué no el conjunto solución {$3,6$} una respuesta correcta?

Answer 1

Por definición, $\sqrt{}$ es siempre no negativo de la raíz. Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas iguales en magnitud, en positivo y uno negativo.

$\sqrt{25} =5$ $\sqrt {25} \ne -5$ . Pero tanto en $5$ $-5$ son soluciones a $x^2 = 25$.

Para resolver una ecuación de $x^2 = k$ habrá dos respuestas. Una es $\sqrt k$ $\sqrt k > 0$ y la otra es $-\sqrt{k}$ $-\sqrt {k} < 0$

Así que si tratas de resolver una ecuación por "el cuadrado de los dos lados", va a cambiar la ecuación para permitir dos diferentes raíces cuadradas que fueron no parte del problema original. Esto se llama superfluo soluciones.

Así, para resolver

$\sqrt {x-2} = x- 4$

No es sólo para solucionar $x-2 = (x-4)^2$ pero es TAMBIÉN solucionar $x - 4 \ge 0$.

Lo hiciste $\sqrt{x-2}^2 = (x-4)^2$. Pero que se suma a la negativa de la solución así.

$x^2 - 8x + 16 = x-2$ $x^2 - 9x + 18 = (x-6)(x-3)$ , por lo tanto de aquellos solucionar $x-2 = (x-4)^2$, pero sólo uno de ellos resuelve $\sqrt{x-2} = x-4$. (Porque se debe tener $x-4 \ge 0$.)

$\sqrt{6-2} \overset?= 6-4$

$\sqrt{4} \overset?= 2$

$2 \overset \checkmark = 2$ cheque. $6$ es una respuesta y $6-4 > 0$.

$\sqrt{3-2} \overset?= 3-4$

$\sqrt{1} \overset?= -1$

$1 \ne -1$. No! $\sqrt{1} = 1$. $\sqrt{1} \ne -1$. Y $3-2 < 0$.

Answer 2

La manera estándar para resolver ecuaciones con raíces cuadradas es esta regla: $$\sqrt A=B\iff (A=B^2\quad\textbf{and}\quad B\ge 0). $ $ aquí obtienes$$ \sqrt{x-2}=x-4\iff x-2=x^2-8x+16\;\text{and}\; x\ge 4\iff(x-3)(x-6)=0\;\text{and}\; x\ge 4, que muestra sólo una raíz: $6$.

Answer 3

El signo de raíz cuadrada sobre un número real es siempre sólo la raíz cuadrada negativa. No hay $\pm$. Si usted cuadrado una ecuación con una raíz cuadrada en corres el riesgo de permitir una solución extraña.

En este ejemplo, $\sqrt{3-2} = 1 \ne 3-4$.

Hay muchas preguntas en este sitio con esta respuesta, era simplemente más fácil para mi escribir que al encontrarlos.

Answer 4

Usted factorizada correctamente, pero su error es considerar tanto las raíces de $x$. Cuando decimos $\sqrt{x}$, nos referimos a la principal raíz de $x$; es decir, el $positive$ raíz cuadrada de $x$ (problema en red, correcciones en azul):

Para el 3:
$\sqrt {3-2} = 3-4$
$\sqrt {1} = \color{red}{±}1$
$\color{blue}{\sqrt {1} = -1}$
$\color{blue}{1 = -1 \, \, \, \, \, \, \, \text{false; not in solution set}}$

Para las 6:
$\sqrt {6-2} = 6-4$
$\sqrt {4} = \color{red}{±}2$
$\color{blue}{\sqrt {4} = 2}$
$\color{blue}{2 = 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{true; in solution set}}$

La solución extraña $x=3$ se produjo cuando el cuadrado de la radical, porque el cuadrado elimina la restricción de que el $\sqrt{u} \geq 0$.