¿En un anillo, resultado de múltiples (de la operación de "suma") no es lo mismo como resultado de la multiplicación, correcto?

Question

En un anillo, un múltiple de adición se escribe $na$ a $(a + a + ... + a)$.

Esto no es necesariamente lo mismo que $n * a$ (la operación "multiplicación"). ¿Es esto correcto?

Múltiple es sólo igual a la multiplicación para anillos específicos tales como números enteros. ¿Es eso correcto?

Sospecho que la respuesta para ser el caso, pero nunca he visto una prueba una u otra forma.

Gracias

Answer 1

En un anillo de $n\cdot a$ $n$ un número natural, se refiere a la adición repetida: $$n\cdot a=\underbrace{a+\dotsb+a}_{n\text{ times}}.$$ Using additive inverse, we may also define the expression for $n$ any integer: $(-n\cdot a)=-(n\cdot a)$. Así que la respuesta es que usted es una propuesta de redacción no es correcta; son necesariamente los mismos.

El anillo también tiene una operación de multiplicación $a* b$ que no tiene nada que ver con la adición repetida; usted no puede agregar $b$ sí $a$ veces si $a$ no es un conteo de número. En lugar de la multiplicación es una operación dada como parte de la estructura del anillo, aparte de la adición. Usted podría incluso estar justificada en el uso de diferentes símbolo de multiplicación para esta operación, como $a*b$ con un asterisco en lugar de un $\cdot$ como Paul Sinclair sugiere en los comentarios.

Si el anillo tiene un elemento de identidad multiplicativa $1$, que la mayoría de los autores asumen, entonces los números $$n=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{ times}}$$ may also be viewed as ring elements. (But beware that in some rings we may have $\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{ momentos}}=0$ for $n\neq 0.$) These elements make a subring of $R$ llamado el primer anillo (véase la segunda definición).

Así, en los anillos con la identidad, la multiplicación de general anillo de elementos que pueden ser vistos como una extensión de la multiplicación de los elementos de la primer sub-anillo. Lo que significa que cuando un anillo que el elemento $a$ es igual a $n$ para algunos entero$n$,$a*b=a\cdot b$. Como funciones, la operación $\cdot$ es un subconjunto de a $*$. Tenga en cuenta que la multiplicación es siempre conmutativa en el primer sub-anillo $m\cdot n=n\cdot m$, mientras que no tiene que ser en todo el anillo de $a* b\neq a* b.$

En un anillo sin elemento de identidad, (a veces llamados generadores de números aleatorios. Conseguirlo? Quitar el 'yo' de "anillos"), ambos tipos de multiplicación existen juntos, pero la multiplicación por números enteros no es un subconjunto de un anillo de la operación de multiplicación. Tenga en cuenta que un anillo sin identidad puede ser canónicamente incrustado en uno que incluye la identidad.

Answer 2

La adición y la multiplicación distribuir en un anillo.

Si empezamos con $$x+x+x+x$$ en un anillo de $R$, y asumimos $1_R$ es un elemento de su anillo (el multiplicativo de identidad, que la mayoría de las definiciones de Anillo de asumir es de allí), obtenemos: $$1_R*x + 1_R*x + 1_R*x + 1_R*x$$ $$(1_R+1_R)*x + (1_R+1_R)*x$$ $$(1_R+1_R+1_R+1_R)*x$$ $$4_R*x$$ donde definimos $4_R$ como un elemento del anillo a se $1_R+1_R+1_R+1_R$.

Tenga en cuenta que esto funciona igual de bien con la derecha-la multiplicación, por lo $4_R*x = x+x+x+x = x*4_R$.

Para los elementos de un anillo, que no puede ser encontrado a través de la adición repetida de $1_R$, a la izquierda-a la multiplicación y a la derecha-la multiplicación por ellos no puede ser el mismo. $2\times2$-matrices de proporcionar un ejemplo.

Incluso si la multiplicación es conmutativa, el argumento anterior puede fallar. $R=\mathbb{Z}_3^2$ (2-tuplas de números enteros mod 3) con el elemento-sabia $+$ $*$ $\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)\}$ elementos. Aquí $1_R$ es $(1,1)$, $0_R$ es $(0,0)$, $3_R$=$0_R$ y $(2,1)*(1,2)=(2,2)$ mientras que ninguna suma de $(2,1)$ o $(1,2)$ agrega a $(2,2)$.

Answer 3

Permítanme dar una alternativa de respuesta, ya he entendido tu pregunta un poco diferente a las otras respuestas. Aquí está lo que me pediste:

En un anillo, un múltiple para la suma se escribe como $na$ a de pie para $(a + a + ... + a)$.

Este no es necesariamente el mismo que $n * a$ (la "multiplicación" de la operación). Es eso correcto?

Eso no es correcto, puesto que ambos son la misma cosa! Para aclarar, la segunda notación sólo tiene sentido en un anillo con unidad / multiplicativo de identidad, pero mientras estamos en un anillo, debemos ser claros: las definiciones de estas dos notaciones son equivalentes.

En más detalle: para $n$ un entero y $r$ un anillo elemento en un anillo arbitrario $R$, podemos definir $$nr =_{\text{def}} \underbrace{r + r + \cdots + r}_{n \text{ momentos}}.$$ Ahora, si $r$ tiene una identidad multiplicativa $e$, entonces podemos definir, por $n$ un entero, $$n =_{\text{def}} \underbrace{e + e + \cdots + e}_{n \text{ momentos}}.$$

Ahora, por la distributividad, $(e + e + \cdots + e)* r = r + r + \cdots + r$. En otras palabras, si estamos de $n * r$ con anillo de multiplicación o con adición repetida, se obtiene la misma respuesta. Esto es bueno -- no queremos que nuestros dos anotaciones de los conflictos.

Como otras respuestas han mencionado, en general anillo podríamos tener $n = 0$ para algún entero positivo $n$. Pero que es realmente irrelevante, ya que las dos notaciones todavía coinciden incluso en este caso.

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P. S. La cosa más importante es siempre mantener independientes en la cabeza que las variables son números enteros (como $n$, $0$, $1$) y cuáles son las variables anillo de elementos (como $r \in R$). Se vuelve confuso, ya que los números enteros son en sí mismas un anillo, y puesto que tenemos estas anotaciones como $n * r$ de adición repetida, y desde $1$ puede ser utilizado tanto para un anillo elemento de y para un valor entero, etc. Pero mientras que usted está manteniendo el conjunto de números enteros separados en la mente del anillo, usted debería ser capaz de evitar la confusión.

Answer 4

Para cualquier anillo de $R$ (ni siquiera con la identidad, necesariamente) y $r\in R$ y cualquier entero positivo $n$, $n\cdot r$ se define a ser $r+r+\ldots$ $n$ veces. Esto se extiende a los números negativos y $0$ en las formas evidentes.

Así que sí, es que el camino para el producto de un elemento con un número entero.

El lugar donde la frase deja de hacer sentido es el producto de los dos elementos de un anillo. Por ejemplo, en $F[x]$, ¿cómo se añaden $x$ sí $x$ veces?

Bajo el capó, la notación que estamos hablando es sólo la notación para repetir las operaciones del grupo. Si usted escribe un grupo de multiplicatively, y luego tomar las $n$ copias de $g$ a través de la operación está escrito como $g^n$ cuando la operación está escrito multiplicatively, y está escrito $ng$ cuando el grupo está escrito de forma aditiva.

Answer 5

Tenga en cuenta que en su pregunta el símbolo $n$ se utiliza con dos significados diferentes.

En la declaración:

• En un anillo, un múltiple para la suma se escribe como $\color{blue}{na}$ a de pie para $(a + a + ... + a)$.

el símbolo $n$ indica el número natural $n\in\mathbb{N}$ que se utiliza para indicar un múltiplo de la anillo-el elemento $a$. $$\begin{align*} \underbrace{a+a+\cdots+a}_{\color{blue}{n}\text{ times}}\qquad\qquad n\in\mathbb{N} \end{align*}$$

Es inteligente para escribir es sinónimo de lugar de $na=a+a+\cdots+a$, ya que estos elementos no son necesariamente comparables (el anillo de $R$ no necesariamente contienen números naturales).

Por otro lado, en la declaración de

• Este no es necesariamente el mismo que $\color{blue}{n \ast a}$ (la "multiplicación" de la operación).

el símbolo $n$ denota una completamente diferente objeto, es decir, un elemento del anillo de $R$.

Teniendo esto en mente, la respuesta a tu pregunta es sí, tu suposición es correcta. Sólo tenemos que considerar la posibilidad de un anillo que no contienen números naturales.

Ejemplo: consideremos el anillo de $R=\left(M_2(\mathbb{R}),+,\ast\right)$ de todos los verdaderos $(2\times 2)$-matrices con la costumbre de la matriz de la adición y la multiplicación.

Para $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in R$ $n\in\mathbb{N}$ obtenemos $$\begin{align*} nA=n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}na&nb\\nc&nd\end{pmatrix}\in R \end{align*}$$ pero $n\ast A$ no está definido desde $n\not\in R$.