¿Es un conjunto de conjunto cuyo poder es infinito numerable?

Question

¿Existe un sistema cuyo poder es infinito numerable?

Estoy seguro si un sistema tiene un número finito de elementos, entonces su conjunto potencia debe tener un número finito de elementos, y si un sistema tiene un número infinito de elementos, entonces su conjunto potencia debe tener un número infinito de elementos (posiblemente uncountably muchos). Luego, debe no existir algo así (lo que dije al principio). ¿Estoy correcto? Por favor alguien aclararla.

Answer 1

No.

Vamos a llamar a un cardenal $\kappa$ un fuerte límite cardenal, si siempre $A$ es un conjunto de cardinalidad estrictamente menor que $\kappa$, también se $\mathcal P(A)$ tiene cardinalidad $<\kappa$.

Es fácil ver que $\aleph_0$ es un fuerte límite cardenal, precisamente porque todo lo pequeño es finito, y el juego de poder de un conjunto finito es finito.

Ahora podemos probar un teorema general:

Supongamos que $\kappa$ es un fuerte límite de cardenal. No hay establecido un $A$ tal que $|\mathcal P(A)|=\kappa$.

Prueba. Recordar Cantor del teorema, para todos los conjuntos $A$, $|A|<|\mathcal P(A)|$. Si $|\mathcal P(A)|=\kappa$,$|A|<\kappa$. Pero ahora, en virtud de ser un fuerte límite cardenal, $|\mathcal P(A)|<\kappa$. $\square$

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En particular, significa que no hay un conjunto cuyo juego de poder es countably infinito.

Answer 2

El tamaño de la alimentación de un juego es más grande que el tamaño del conjunto en sí en general. Esto se llama el Cantor del teorema.

Si $n$ es finito, entonces el tamaño de su juego de poder es $2^n$ que es finito. Así, el conjunto deseado tiene que ser infinito. Pero, a continuación, un conjunto infinito tiene que tener un conjunto de el tamaño de los números naturales en su interior.

Por Cantor del teorema de nuevo, el tamaño del juego de poder de $\mathbb{N}$ es, por tanto, mayor que el tamaño de $\mathbb{N}$, y tiene que ser más grande que el contable, es decir, incontables.

Desde el conjunto que está buscando tiene un conjunto de el tamaño de los números naturales en su interior, su cardinalidad debe ser más grande que el contable. Esto demuestra que un conjunto cuyo poder conjunto es contable no puede existir.

Answer 3

No, y esto sigue de estas tres observaciones:

• Un conjunto finito tiene un poder finito establecido.
• $|\mathcal P(A)|$ es siempre es mayor que $|A|$ (Teorema de Cantor).
• $\aleph_0$ es el menor número no finito de cardenal.