Valor de una serie trigonométrica

Question

Pregunta:

Si $x = \sin 1^\circ$, encontrar el valor de la expresión: % $ $$\frac{1}{\cos0^\circ \cos1^\circ} + \frac{1}{\cos1^\circ\cos2^\circ} + ... + \frac{1}{\cos44^\circ\cos45^\circ}$$x$

Realmente no veo cómo simplifico esta expresión en términos de $x$. Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Sugerencia-$$\sin{1}=\sin{[(n+1)-n)]}=\sin{(n+1)}\cos{n}-\cos{(n+1)}\sin{n}$ $ \begin{align}\sum_{n=0}^{44}\dfrac{1}{\cos{n}\cos{(n+1)}} &=\dfrac{1}{\sin{1}}\sum_{n=0}^{45}\dfrac{\sin{(n+1)}\cos{n}-\cos{(n+1)}\sin{n}}{\cos{n}\cos{(n+1)}}\\ \ \\ &=\frac1 {\sin1}\,\sum_{n=0}^{44}[\tan{(n+1)}-\tan{n}] \end{Alinee el}