Me gustaría ver los resultados que se derivan de la trigonometría hiperbólica sintéticamente, es decir, sólo mediante el trabajo a partir de los axiomas, por ejemplo la dada por Hilbert (o incluso Tarski). La mayoría de los autores parecen hablar de la trigonometría hiperbólica, trabajando en un modelo específico, por ejemplo Hartshorne en la Geometría de Euclides y más Allá se da un montón de resultados que el modelo de los axiomas de Hilbert, sino que se deriva de la trigonometría hiperbólica, considerando la conformación modelo de disco. He leído que Lobachevsky (y Cuidando a) derivados de identidades trigonométricas mediante el trabajo de Euclides. Lamentablemente no creo que sus trabajos han sido traducidos al inglés por lo que me pregunto si algunos autores modernos han tratado de este enfoque. Sabe alguien de relevante papel o un libro de texto?
Respuestas
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Lobachevsky mismo
Has mirado en Lobachevsky del Geométricas investigaciones sobre la teoría de parallels (aquí una libre disposición de traducción por Halsted)? Yo no había hasta ahora, pero rozando ahora, se ve como un probable candidato para lo que usted está pidiendo, ya que comienza de una manera axiomática, y hace llegar a fórmulas trigonométricas hacia el final.
El artículo de la Wikipedia en Lobachevsky también las listas de las traducciones al inglés de algunas de sus obras, que es cómo me encontré con el título de la obra que se hace referencia anteriormente.
La prueba Formal de auxiliar de la comunidad
Si usted está buscando para los trabajos más recientes, a continuación, me gustaría considerar las posibles motivaciones para la elección de este enfoque. Uno de esos motivación que se me ocurre sería el uso de la prueba de asistentes para trabajar con estos de una manera muy formal. La adición de algunas probables de palabras clave de esa comunidad, me pareció muy reciente de artículos como, por ejemplo, el más simple sistema de axiomas para el plano de la geometría hiperbólica revisited, de nuevo por Alama de octubre de 2013. El uso de algo como esto como un punto de entrada, y las siguientes referencias de ida y vuelta (Google Scholar será muy útil allí), también puede encontrar uno que hace la trigonometría además de los axiomas.
Citando Lobachevsky
Otra cosa a tener en cuenta podría ser la lista de obras citando el mencionado Geométricas investigaciones sobre la teoría de parallels. Hay una gran cantidad de matemáticas de la obra de historia hay, obviamente, pero también una Invitación a la Primaria Geometría Hiperbólica por Zhang, que tiene una sección de 4 sobre Trigonometría Hiperbólica. La introducción de la obra afirma:
Elegimos este enfoque sintético y en la medida de lo posible no usar modelos analíticos [...]
La sección 4 de hecho, hace referencia a la mitad superior modelo de avión, pero lo hace en el inciso 4.3, después de derivados básicos identidades trigonométricas en la subsección 4.2.
Que el artículo también viene con una recomendación de lectura:
Para axiomático tratamientos de ver Hilbert [14] y Hartshorne [12].
La edición de 1968 de Hilbert Grundlagen der Geometrie por Paul Bernays apéndice 3 contiene un artículo en el Mathematische Annalen, vol. 57, donde Hilbert, de hecho, se funda la geometría de Bolyai-Lobačevskij plano después de los axiomas. Me parece que el texto muy conciso y por lo tanto difícil, pero -por supuesto - tremendamente interesante. Creo que una traducción al inglés existe.
