inverso de la función $xe^x$

Question

W que la función de Lambert que es la función inversa de $xe^x$. ¿Es cierto eso si $c > 1$, entonces el $w(cx)\leq cw(x)$ $x\geq 0$?

¿Puedo aplicar la propiedad $ln(x)-ln(ln(x))\leq W$ $x\geq e$?

Answer 1

Paso 1. Queremos demostrar que para cualquier $x\geq 0$ $c>1$ hemos $$ W(cx)\leq c\cdot W(x)$$ donde $W$ es de Lambert de la función.

Paso 2. $xe^x$ es una función creciente en $\mathbb{R}^+$. De ello se sigue que si $a$ $b$ son números positivos, demostrando $a\leq b$ es equivalente a probar que $a e^a\leq b e^b$. Aplicamos este principio a la desigualdad anterior, convirtiéndola en

$$ W(cx) e^{W(cx)} \leq c W(x) e^{c W(x)}. $$

Paso 3. Por la definición misma de $W$, del lado izquierdo de la última desigualdad es igual a $cx$, mientras que el lado derecho es igual a $cW(x) e^{W(x)} e^{(c-1)W(x)}$. Así, la última desigualdad es equivalente a

$$ cx \leq cx e^{(c-1)W(x)} $$ o a $$ 1 \leq e^{(c-1)W(x)} $$ que es trivial.