¿Por qué está Top_4 una subcategoría reflexiva de Top_3?

Question

Hola,

Estoy estudiando alguna categoría de la teoría de la lectura de Mac Lane linealmente y la resolución de ejercicios.

En cuestión 5.9.4 de la segunda edición, el lector se pregunta para la construcción de la izquierda adjoints para cada una de la inclusión functors Top_{n+1} en Top_n, para n=0, 1, 2, 3, donde Top_n es la subcategoría plena de todos los T_n-espacios en la parte Superior, con T_4=Normal, T_3=Regular, etc.

Para n=0, 1, 2, me parece que puede utilizar la POPA, con el conjunto de soluciones construidas de manera similar a la construida para demostrar el Haus (=Top_2) es un reflejo de la subcategoría de Top (Proposición 5.9.2, p. 135 de Mac Lane).

Pero no puedo averiguar qué debo hacer con el caso de n=3, es decir, con la inclusión functor Top_4 en Top_3: Top_4 incluso no tienen productos, por lo que parece que no puedo utilizar la POPA.

Hay algunos directos en la construcción de esta izquierda adjoint (por universal flechas, tal vez)? Las respuestas, incluyendo una referencia sería especialmente útil.

Answer 1

Creo que MacLane cometido un error. Creo que él simplemente se olvidó de que la categoría de $T_4$ espacios carece de cierre de propiedades.

Reclamo: Si $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{C}$ es un (completo) reflexivo subcategoría y $\mathcal{C}$ ha finito de productos, a continuación, $\mathcal{A}$ es cerrado bajo $\mathcal{C}$'s productos finite, hasta el isomorfismo.

Si $\mathcal{A}$ es reflexiva, esto significa que un objeto $X \in \mathcal{C}$ "$\mathcal{A}$- ification" $X'$, por ejemplo, un abelianization en el caso de que $\mathcal{A}$ es abelian grupos y $\mathcal{C}$ es de los grupos. Si $A, B \in \mathcal{A}$ son objetos, entonces ellos tienen un producto$A \times B$$\mathcal{C}$, y, a continuación, que tiene un $\mathcal{A}$-ification $(A \times B)'$. Hay un $\mathcal{A}$-ification de morfismos $A \times B \to (A \times B)'$, y también hay proyección de morfismos $A \times B \to A, B$. Desde $A, B \in \mathcal{A}$, la proyección de morfismos factor a través de $(A \times B)'$, y, a continuación, el universal propiedad le da una morfismos $(A \times B)' \to A \times B$. Así que usted consigue canónica de morfismos en ambas direcciones entre el$A \times B$$(A \times B)'$, y creo que algunas de rutina de la contabilidad muestra de que son inversos.

Así que el Sorgenfrey plano (que no es la normal Cartesiano de la plaza de la Sorgenfrey línea) no tiene un "$T_4$-ification".

Tengo en esta pista después de encontrar el papel, Reflexivo subcategorías y generalizada cubriendo espacios, por Kennison. Kennison listas de cierre, en productos como una condición necesaria para reflectiveness.