Sea R un dominio noetheriano normal.
¿Cuál es la diferencia entre un módulo reflejo finitamente generado y un módulo proyectivo finitamente generado?
¿Alguien puede recomendar referencias o hacer sugerencias al respecto?
Los módulos proyectivos finitamente generados pueden ser identificados con matrices idempotentes...
Los módulos proyectivos finitamente generados se corresponden con haces vectoriales sobre un espacio topológico...
¿Existen resultados similares sobre módulos reflexivos?
Bueno, la respuesta es bien conocida por supuesto. Para un módulo finitamente generado sobre un dominio noetheriano normal conmutativo TFAE
Como dices, un módulo proyectivo finito es lo mismo que un haz localmente libre en Spec R. De manera similar, un módulo reflexivo finito es lo mismo que la extensión de un haz localmente libre desde un subconjunto abierto U de Spec R cuyo complemento tiene codimensión $\ge2$.
Por lo tanto, toma un divisor Weil D que no sea Cartier, el haz divisorial asociado (correspondiente a un módulo R de rango 1) es reflexivo, no proyectivo. Tu ejemplo con una línea en un cono cuadrático es de esta forma.
Esto es estándar y se usa todo el tiempo en la geometría algebraica de dimensiones superiores en torno al Programa del Modelo Mínimo. Para una referencia antigua que cubre parte de esto, ver por ejemplo Bourbaki, Cap.7 Álgebra conmutativa, VII.
Esto no es una respuesta a tu pregunta, pero lo encontré hace unos días buscando otra cosa y me pareció bastante curioso... :
Según E. E. Enochs [A note on reflexive modules. Pacific J. Math. Volume 14, Number 3 (1964), 879-881.], un módulo libre de rango infinito contable sobre un anillo de valoración discreta es reflexivo si y solo si el anillo no es completo.
Un ejemplo relacionado interesante a tener en cuenta en este contexto es que un grupo abeliano libre de rango infinito contable es reflexivo.
Más específicamente: si $A$ es un anillo izquierdo noetheriano de dimensión global a lo sumo $2$, entonces todo módulo izquierdo reflexivo finitamente generado es proyectivo. De hecho, si $M$ es un módulo finitamente generado y $$P_1\to P_0\to M\to 0$$ es una presentación proyectiva mediante proyectivos finitamente generados, aplicando el funtor $(\mathord-)^*=\hom_A(\mathord-,A)$ obtenemos una secuencia exacta $$0\to M^*\to P_0^*\to P_1^*\to E\to 0,$$ donde $E$ es simplemente la cokernel de la aplicación $P_0^*\to P_1^*$. Dado que $\mathrm{pdim}\,E\leq 2$ y dado que $P_0^*$ y $P_1^*$ son proyectivos, el núcleo de $P_0^*\to P_1^*$, es decir, $M^*$, debe ser proyectivo. Esto muestra que el dual de un módulo finitamente generado es proyectivo, por lo que un reflexivo finitamente generado, al ser isomorfo al dual de su módulo dual, es proyectivo.
En general, hay muchos más módulos reflexivos que módulos proyectivos. Como se señaló en otra respuesta, cada segunda sifigia es reflexiva, y no necesariamente proyectiva (a menos que su anillo resulte ser regular de dimensión como máximo $2$). Por lo tanto, el recíproco de esa respuesta es, creo, más interesante.
En particular, supongamos que $R$ es (semi)local. Entonces solo hay un número finito de proyectivos indecomponibles. Si hay un número finito de reflexivos indecomponibles, entonces $R$ debe tener una dimensión como máximo $2$, y por lo tanto, un tipo finito Cohen-Macaulay (lo cual es una condición muy rara).
La moraleja es que la reflexividad es una condición (muy) mucho más débil que la proyectividad.
Hace unos meses pregunté una pregunta muy similar y recibí algunas respuestas muy buenas.
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