Existe un único haz vectorial orientable de rango 4 no trivial sobre el 2-toro, denotado por $p:E\rightarrow T^2$ . Denotemos el haz de esferas asociado por $S(E)$ . Entonces, como $S(E)$ es orientable, la primera clase de Stiefel-Whitney del colector cinco $S(E)$ es trivial. Por la fórmula de Wu, no es difícil ver que la segunda clase de Stiefel-Whitney $w_2(S(E))$ es igual a la segunda clase Wu. Pero tengo problemas para encontrar la segunda clase Wu. ¿Puede alguien ayudarme con esto? Gracias.
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jasonjwwilliams
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Estoy asumiendo que su objetivo final es el cálculo de $w_2(TS(E))$ en lugar de la de la clase Wu. Si es así, así es como yo procedería. En primer lugar, abusaré de la notación y dejaré que $p:S(E)\rightarrow \mathbb{T}^2$ denotan el mapa de proyección.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\pi_1(\mathbb{T}^2)\cong\mathbb{Z}^2$ actúa trivialmente sobre $H^\ast(S^3)$ . Esto se deduce porque el haz es orientable y el único grupo de cohomología no nulo de $S^3$ está en grado $3$ y se genera por una elección de orientación. Así, en particular, la maquinaria de la secuencia espectral de Serre funciona fácilmente (¡sin problemas de extensión!), y obtenemos $H^\ast(S(E)) \cong H^\ast(S^3\times \mathbb{T}^2)$ . También vemos por el homomorfismo de aristas, que $p^\ast:H^2(T^2)\rightarrow H^2(S(E))$ es un isomorfismo. Esto implica que $H^\ast(S(E);\mathbb{Z}_2)\cong H^\ast(S^3\times \mathbb{T}^2; \mathbb{Z}_2)$ y que el mapa inducido en $H^2$ con $\mathbb{Z}_2$ coefficieints también es un isomorfismo.
Ahora, usamos un buen truco. Afirmo que $TS(E)\oplus 1$ es isomorfo a $p^\ast(T \mathbb{T}^2)\oplus p^\ast(E)$ .
Creyendo esto, se deduce que $w(TS(E)\oplus 1) = p^\ast(w(T\mathbb{T}^2))\cup p^\ast (w(E))$ . Pero $\mathbb{T}^2$ es paralelizable, por lo que se reduce a $w(TS(E)) = p^\ast(w(E))$ . En particular, dado que $w_1(E) = w_k(E) = 0$ para $k>2$ mientras que $w_2(E)$ es un generador de $H^2(\mathbb{T}^2;\mathbb{Z}_2)$ concluimos que $w(TS(E))$ sólo es distinto de cero en grado $2$ (y grado $0$ ), donde es el único elemento no nulo.
Entonces, ¿por qué funciona el bonito truco? Bueno, funciona para cualquier haz de esferas orientadas $S$ que es el haz de esferas de un haz vectorial $S = S(E)$ . La idea es elegir una métrica riemanniana en el espacio total $E$ y en la base para la que la proyección es una inmersión riemanniana. Esto permite descomponer canónicamente $T_{(b,v)}E$ en tres partes: vectores tangentes a $B$ las tangentes a la esfera en $p^{-1}(b)$ y los vectores en $p^{-1}(b)$ apuntando radialmente hacia el interior/exterior. (El hacia adentro/hacia afuera es allí el $\oplus 1$ viene).
