¿Cuál es la coordenada del anillo de $G/U$?

Question

Deje $G$ ser una expresión algebraica de grupo y $U$ su subgrupo que consiste en todos los triangular superior de las matrices. Por ejemplo, $G=GL_n(k)$ $U$ el subgrupo que consta de todos los triangular superior unipotentes matrices en $GL_n(k)$ donde $k$ es algebraicamente cerrado de campo.

Se dice que el anillo de coordenadas de $G/U$ $k[G/U]= k[A]$ donde $A$ es el conjunto formado por todos los menores de una matriz que contiene continua de filas de la primera columna. Esto es debido a que estos menores son invariantes bajo la acción de multiplicar los elementos en $U$ desde el derecho a una matriz en la $G$.

Estoy tratando de entender esta declaración. Deje $$G=GL_3(k)=\left\lbrace\left(\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix}\right) : x_{ij} \in k, \det(x_{ij}) \neq 0 \right\rbrace.$$, $$ U=\left\lbrace\left(\begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{de la matriz}\right) : a, b, c \in k \right\rbrace. $$ Ahora queremos comprobar que $$k[G/U] = k[x_{11}, x_{21}, x_{31}, x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}, x_{11}x_{23}-x_{21}x_{13}, x_{21}x_{32}-x_{31}x_{22},x_{21}x_{33}-x_{23}x_{31}, \det(x_{ij})] \quad (1)$$. Es esto correcto?

En general, para una variedad afín $X$, $k[X] = k[A^n]/I = k[x_{i}: i\in\{1, \ldots, n\}]/I$, donde $I = \{f: f(x)=0, \forall x \in X\}$. Creo que el anillo de coordenadas de $GL_n(k)$$k[x_{ij}, y: i,j\in\{1, \ldots, n\}]/(y\det(x_{ij})-1)=k[x_{ij}, \det(x_{ij})^{-1}: i,j\in\{1, \ldots, n\}]$.

Muchas gracias.

Edit: tal vez la declaración debe ser como sigue.

El anillo de coordenadas de $G/U$ $k[G/U]= k[x_{ij}, A]$ donde $A$ es el conjunto formado por la inversa de los menores de una matriz que contiene continua de filas de la primera columna. Esto es debido a que estos menores son invariantes bajo la acción de multiplicar los elementos en $U$ desde el derecho a una matriz en la $G$.

Deje $$G=GL_3(k)=\left\lbrace\left(\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix}\right) : x_{ij} \in k, \det(x_{ij}) \neq 0 \right\rbrace.$$, $$ U=\left\lbrace\left(\begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{de la matriz}\right) : a, b, c \in k \right\rbrace. $$

Ahora queremos comprobar que $$k[G/U] = k[x_{ij}, i, j \in \{1, \ldots, n\}, x_{11}^{-1}, x_{21}^{-1}, x_{31}^{-1}, (x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21})^{-1}, (x_{11}x_{23}-x_{21}x_{13})^{-1}, (x_{21}x_{32}-x_{31}x_{22})^{-1},(x_{21}x_{33}-x_{23}x_{31})^{-1}, (\det(x_{ij}))^{-1}]\,. \quad (2)$$ Es esto correcto?

Answer 1

Editar Como Tobias Kildetoft señaló, sólo estoy seguro de que el siguiente argumento cuando la característica de $k$ es cero. No he aventurado más allá de ese punto mucho, pero yo esperaría que la teoría de la representación de $\operatorname{GL}_n$ es bien estudiado incluso en característica positiva. Usted todavía puede ser capaz de hacer un argumento similar.

Por el algebraicas Peter-Weyl teorema [27.3.9, TY], podemos descomponer el anillo de coordenadas de $G$ $$k[G]_d = \bigoplus_{\lambda\mathop{\vdash}_n d} V_\lambda \otimes V_\lambda^\ast$$ donde $\lambda$ corre a través de todas generalizada de las particiones con el en la mayoría de las $n$ filas y $d$ cajas, y $V_\lambda$ denota la representación irreducible dado por $\lambda$. Observe que esta es la calificación obtenida por la localización de las coordenadas del anillo de $k^{n\times n}$$\det$, lo $d$ puede tomar valores negativos correspondientes simplemente a tomar inversa poderes de la determinante.

Tomando $U$-invariantes, obtenemos $$k[G]_d^U = \bigoplus_{\lambda\mathop{\vdash}_n d} V_\lambda $$ debido a $(V_\lambda^\ast)^U$ es unidimensional.

Deje $k[G]=k[x_{ij},\det^{-1}_n]$$x:=(x_{ij})\in k[G]^{n\times n}$. Para subconjuntos $I,J\subseteq \{1,\ldots,n\}=:[n]$, denotan por $x_{IJ}$ la matriz obtenida por la elección de $x$ las filas indexados por $I$ y las columnas indizadas por $J$. Para $r:=|I|$, escribimos $x_I$ en lugar de $x_{I,[r]}$. Pretendemos que $$ k[G/U] = k[G]^U = k[ \det(x_I) \mid I\subseteq \{1,\ldots,n\} ][\det\nolimits_n^{-1}] =: R.$$ Primero de todo, vamos a mostrar que el $\det(x_I)$ es derecho-$U$-invariante. Deje $r:=|I|$. Para cualquier $u\in U$$\newcommand{\of}[1]{\left(#1\right)}g\in G$, podemos calcular \begin{align*} ((1,u).\det(x_I))(g) &= \det(x_I)(gu) = \det((gu)_I) %\\ &= \det\of{ \of{ \sum\nolimits_{k=1}^n g_{ik} u_{kj} }_{i\in I,\,j\in\nums r} } %\\ &= \det\of{ \of{ \sum\nolimits_{k=1}^{j} g_{ik} u_{kj} }_{i\in I,\,j\in\nums r} } \\ &= \det\of{ g_I\cdot u_{[r]} } = \det(g_I) = \det(x_I)(g), \end{align*} debido a $u_{[r]}$ es la parte superior izquierda $r\times r$ bloque de la unipotentes matriz $u$, lo que ha determinante $1$. Por lo tanto, $R\subseteq k[G]^U$. A ver de que son iguales, vamos a hacer uso de la Pedro teorema de Weyl y las siguientes:

La reclamación. $R$ es invariante bajo la acción de $G$ desde la izquierda.
Prueba. Deje $g,v\in G\newcommand{\nums}[1]{[#1]}$. A continuación, \begin{align*} \det( (gv)_I ) &= \sum_{\pi:I\cong\nums r} (-1)^\pi \prod_{i\in I} (gv)_{i,\pi(i)} = \sum_{\pi:I\cong\nums r} (-1)^\pi \prod_{i\in I} \sum_{j=1}^n g_{ij} v_{j\pi_i} \\ &= \sum_{\pi:I\cong\nums r} (-1)^\pi \sum_{j:I\to\nums n} \prod_{i\in I} g_{ij_i} v_{j_i\pi_i} \\ &= \sum_{j:I\to\nums n} \sum_{\pi:I\cong\nums r} (-1)^\pi\prod_{i\in I} g_{ij_i} v_{j_i\pi_i} \\ &= \sum_{\substack{J\subseteq\nums n\\|J|=r}} \sum_{\pi:I\cong\nums r} \det(g_{IJ})\cdot\det(v_J). \end{align*} Por lo tanto, $g.\det(x_I)\in \sum_{J\subseteq\nums n} k\cdot\det(x_J)\subseteq R$ todos los $I$.

Desde $R\subseteq k[G]^U$ $R$ $G$- módulo, será suficiente para mostrar que el $R$ contiene un mayor peso de vectores de cada peso $\lambda$.

De hecho, no es difícil construir un peso máximo de vectores de cada una de las generadoras de pesos: \begin{align*} \omega_1 &= (1,0,0,\ldots,0), \\ \omega_2 &= (1,1,0,\ldots,0), \\ \vdots & \\ \omega_n &= (1,1,1,\ldots,1), \\ \omega'_n &= (-1,\ldots,-1). \end{align*}

La parte superior izquierda de menores de edad $f_r:=\det(x_{\nums r})$ también son invariantes bajo la acción de $U$ desde la izquierda y una invertible matriz diagonal $t=\operatorname{diag}(t_1,\ldots,t_n)$ satisface $t.f_r = t_1\cdots t_r\cdot f_r$. Por lo tanto, $f_r$ es un peso máximo de vectores de peso $\omega_r$ y desde $f_n=\det_n$ es invertible, también contamos con un peso máximo de vectores $f_n^{-1}$ peso $\omega'_n$. Podemos multiplicar el $f_r$ para la construcción de cualquier peso máximo del vector correspondiente a un peso dominante.

[TY] Tauvel & Yu - Álgebras de Lie y Algebraica de los Grupos de

Answer 2

Primero se describe la variedad de $G/U$. Tenemos \begin{align} \left( \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{de la matriz} \right) \left( \begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{de la matriz} \right) = \left( \begin{matrix} x_{11} & x_{12} + a x_{11} & x_{13} + b x_{11} + cx_{12} \\ x_{21} & x_{22} + a x_{21} & x_{23} + b x_{21} + cx_{22} \\ x_{31} & x_{32} + a x_{31} & x_{33} + b x_{31} + cx_{32} \end{de la matriz} \right). \end{align}

Por lo tanto $g=\left( \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{de la matriz} \right)$ and $g'=\left( \begin{matrix} x_{11}' & x_{12}' & x_{13}' \\ x_{21}' & x_{22}' & x_{23}' \\ x_{31}' & x_{32}' & x_{33}' \end{de la matriz} \right)$ if and only if the minors of $g$ and $g'$ which contains elements of the first column and with consecutive rows are the same. For example, $x_{11}=x_{11}', x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21} = x_{11}'x_{22}'-x_{12}'x_{21}'$.

Por lo tanto, las coordenadas del anillo de $G/U$$k[G/U] = k[x_{11}, x_{21}, x_{31}, x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}, x_{11}x_{32}-x_{12}x_{31}, x_{21} x_{32} - x_{22} x_{31}, \det(x_{ij})]$.