Interpretación geométrica de la curvatura de Ricci

Question

Veo la curvatura escalar $R$ como indicador de cómo se curva localmente un colector (el ejemplo más fácil es el de un $2$ -de las dimensiones de la colmena $M$ donde el $R=0$ en un punto significa que allí es plano, $R>0$ que hace como una colina y $R<0$ que es un punto de silla de montar).

¿Existen interpretaciones análogas para el tensor de Riemann $Rm$ y para la curvatura de Ricci $Rc$ ? He intentado pensar en ello pero no consigo que nada tenga sentido.

Answer 1

Consideramos que el Tensor de Riemann primero. Una observación crucial es que si transportamos en paralelo transportamos en paralelo un vector $u$ en $p$ a $q$ a lo largo de dos caminos diferentes $vw$ y $wv$ los vectores resultantes vectores en $q$ son diferentes en general (figura siguiente). Sin embargo, si transportamos en paralelo un vector en un espacio euclidiano, donde el transporte paralelo se define en nuestro sentido habitual, el vector resultante no depende de la trayectoria por la que ha sido transportado en paralelo. Esperamos que esta no integrabilidad del transporte paralelo caracteriza la noción intrínseca de curvatura, que no depende de las coordenadas especiales elegidas.

Es útil decir que en este sentido la visualización del primera identidad de Bianchi es muy fácil:

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Podemos dar una interpretación geométrica cuantitativa a la curvatura seccional tensor en cualquier dimensión. Sea M una n-manifoldes de Riemann y p ∈ M. Si $\Pi$ es cualquier $2$ -subespacio dimensional de $T_pM$ y $V \subset T_pM$ es cualquier vecindad de cero en la que $\exp_p$ es un difeomorfismo, entonces $S_\Pi := \exp_p(\Pi \cap V)$ es un $2$ -submanifold de dimensiones de $M$ que contiene $p$ (figura siguiente), llamado el plano sección determinada por $\Pi$ . Tenga en cuenta que $S_\Pi$ es sólo el conjunto barrido por las geodésicas cuyos vectores tangentes iniciales se encuentran en $\Pi$ . Definimos la curvatura seccional de $M$ asociado a $\Pi$ , denotado como $K(\Pi)$ , para ser la curvatura gaussiana de la superficie $S_\Pi$ en $p$ con la métrica inducida. Si $(X, Y)$ es cualquier base para $\Pi$ también utilizamos la notación $K(X, Y)$ para $K(\Pi)$ .

Proposición: Si $(X, Y)$ es cualquier base para un $2$ -avión $\Pi \subset T_pM$ entonces $$K(X,Y)=\frac{Rm(X,Y,Y,X)}{|X|^2 |Y|^2 -\langle X,Y \rangle ^2}$$

También podemos dar una interpretación geométrica de las curvaturas Ricci y escalar de Ricci y escalares. Dado cualquier vector unitario $V \in T_pM$ , elija una base ortonormal $\{E_i\}$ para $T_pM$ tal que $E_1 = V$ . Entonces $Rc(V, V )$ viene dada por

$$Rc(V,V)=R_{11}=R_{k11}^k=\sum_{k=1}^{n} Rm(E_k,E_1,E_1,E_k)=\sum_{k=2}^{n}K(E_1,E_k)$$

Por lo tanto, el tensor de Ricci tiene la siguiente interpretación: Para cualquier vector unitario vector $V \in T_pM$ , $Rc(V, V )$ es la suma de las curvaturas seccionales de los planos atravesados por $V$ y otros elementos de una base ortonormal. Desde $Rc$ es simétrica y bilineal, está completamente determinada por sus valores de la forma $Rc(V, V )$ para vectores unitarios $V$ .

Del mismo modo, la curvatura escalar es

$$S=R_j^j=\sum_{j=1}^n Rc(E_j,E_j)=\sum_{j,k=1}^{n}Rm(E_k,E_j,E_j,E_k)=\sum_{j\ne k}K(E_j,E_k)$$

Por lo tanto, la curvatura escalar es la suma de todas las curvaturas seccionales de planos abarcados por pares de elementos de base ortonormal.

Answer 2

Tenga en cuenta que sus interpretaciones geométricas bidimensionales son extrínsecas: está buscando incrustaciones de superficies en $\mathbb{R}^3$ . En general, es mejor pensar en términos de propiedades geométricas intrínsecas.

Las interpretaciones geométricas más sencillas de las curvaturas Scalar y Ricci son en términos de volumen (mientras que el resto del tensor de curvatura -la parte de Weyl- da cuenta de la curvatura "torcida" no volumétrica). En particular, el volumen de una bola de radio $r$ centrado en $p$ es $$ \textrm{Volume}(B(p,r)) = (1 - \textrm{Scal}(p) Cr^2 + O(r^4)) V_{E^n} (r)$$ donde $V_{E^n}(r)$ es el volumen de dicha bola en el espacio euclidiano y $C$ es una constante que sólo depende de la dimensión; así que la curvatura escalar mide la tasa de crecimiento de las bolas hasta el orden más bajo no evanescente. Deberías poder casar esto con tu intuición para el caso bidimensional: las "colinas" (o para un ejemplo más extremo una esfera cerrada) de curvatura positiva tienen menos área disponible en radios grandes de lo que esperas, mientras que la forma de silla de montar tiene más.

La curvatura de Ricci hace algo parecido, pero para una dirección concreta: Dado un vector tangente $v$ en un punto $p$ la curvatura de Ricci $\textrm{Rc}(v,v)$ describe la tasa de crecimiento del volumen de un cono delgado en la dirección $v$ . Obsérvese que la simetría del tensor de Ricci significa que está determinado por sus valores en la diagonal; así que éste es su contenido completo.

El tensor de Riemann completo es un poco más difícil de entender; lo más fácil es pensar en las curvaturas seccionales $K(\Pi) = R(u,v,u,v)$ donde $u,v$ forman una base ortonormal para el plano $\Pi$ en el punto $p$ . Esto es (hasta cierta constante) sólo la curvatura gaussiana/escalar de la superficie generada por las geodésicas con velocidades en $\Pi$ Así se puede interpretar la curvatura seccional en términos de la tasa de crecimiento del área en cortes bidimensionales. Nótese una vez más que varias simetrías implican que las curvaturas seccionales determinan el tensor de Riemann completo.

Answer 3

En este contexto, la mayoría de las "interpretaciones" son inútiles. La cuestión principal es dónde aparece la curvatura.

Para la curvatura de Ricci hay tres lugares:

• La fórmula de Bochner para las formas 1.
• Primera variación para la curvatura media de la hipersuperficie.
• Flujo de Ricci

Todo lo que se conoce proviene de ellas, de una manera u otra.