factor de normalización para la densidad restringida

Question

Actualización de la recompensa El problema es que la solución de David se basa en la transformada de Fourier de la función Delta de Dirac, así que la recompensa es para quien encuentre una forma de arreglar su solución para que dé el resultado correcto.

Supongamos que tengo una función de valor real no negativo sobre $d$ -vectores reales de la siguiente manera

$$f(\mathbf{x})=\exp(-\mathbf{x}' A \mathbf{x})$$

Dónde $A$ es algún tipo de simetría positiva definida $d\times d$ matriz. ¿Cuál es el factor de normalización para convertirla en una densidad válida sobre el siguiente conjunto?

$$S_d=\{(x_1,\ldots,x_d)\in \mathbf{R}^d | \sum_i x_i=0 \}$$

A continuación, David Bar Moshe da una solución general para calcular esa integral sobre el espacio ortogonal a algún vector $v$ pero sospecho que tiene un error porque la respuesta depende de la norma de $v$ .

En particular, supongamos que $A$ es $d$ -por- $d$ matriz de identidad. Sea $v$ sea un vector de todos los unos. Debido a la simetría, la integración sobre el espacio ortogonal a $v$ debe ser el mismo que el de $d-1$ integral gaussiana dimensional, es decir $\pi^{(d-1)/2}$ mientras que la solución de David da

$$\frac{\pi^{(d-1)/2}}{d}$$

Answer 1

Esta es una corrección de la respuesta de David Bar Moshe editar: y generalizándolo para el caso, cuando $\mathbf{A}$ es degenerado. Utilizando las fórmulas de las transformadas de Fourier e inversa de Fourier podemos escribir $$f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}k\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}y f(y)e^{iky}. (1)$$ Supongamos que $S_d(y)=$ " $S_d$ desplazado por $(y,0,\dots,0)$ " y $f(y)=\int_{\mathbf{x} \in S_d(y)} \mathrm{d}\mathbf{x} \exp(-\mathbf{x}^T \mathbf{A}\mathbf{x}).$ Entonces, utilizando la fórmula (1) obtendremos $$N^{-1}=f(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}k\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}y f(y)e^{iky} =$$ $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}k\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}y \int_{\mathbf{x} \in S_d(y)}\mathrm{d}\mathbf{x} \exp(-\mathbf{x}^T \mathbf{A}\mathbf{x} + iky) =$$ $$\frac{\|\mathbf{v}\|}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}k \int_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d}\mathrm{d}\mathbf{x} \exp(-\mathbf{x}^T \mathbf{A}\mathbf{x} + ik \mathbf{v}^T \mathbf{x}),$$ donde $\mathbf{v}$ es un vector, ortogonal al plano que nos interesa. Por ejemplo, podemos tomar $\mathbf{v}=(1,\dots,1)$ . Nota $\|\mathbf{v}\|$ en la última integral, que aparece por el cambio de coordenadas de $y$ y las coordenadas en $S_d$ a las coordenadas en $\mathbb{R}^d$ .

Ahora $N^{-1}=$ $$\frac{\|\mathbf{v}\|}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}k \int_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d}\mathrm{d}\mathbf{x} \exp(-(\mathbf{x}+\frac{i}{2}k\mathbf{A}^{-1}\mathbf{v})^T \mathbf{A}(\mathbf{x}+\frac{i}{2}k\mathbf{A}^{-1}\mathbf{v}) - \frac{k^2}{4} \mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1}\mathbf{v})=$$ $$\frac{\|\mathbf{v}\|}{2\pi} \frac{\pi^{d/2}}{\sqrt{\det{A}}} \frac{2\sqrt{\pi}}{\sqrt{\mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1}\mathbf{v}}}=\frac{\|\mathbf{v}\| \pi^{(d-1)/2}}{\sqrt{\det{A}}\sqrt{\mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1}\mathbf{v}}}=\frac{\|\mathbf{v}\| \pi^{(d-1)/2}}{\sqrt{\mathbf{v}^T \mathbf{C}\mathbf{v}}},$$ donde $\mathbf{C}$ es matriz adjunta a $\mathbf{A}$ . La integral inicial y la respuesta son ambas continuas en $\mathbf{A}$ cuando $A$ restringido a $S_d$ no es degenerado. De esto podemos concluir, que la ecuación $N^{-1}=\frac{\|\mathbf{v}\| \pi^{(d-1)/2}}{\sqrt{\mathbf{v}^T \mathbf{C}\mathbf{v}}}$ es verdadera siempre que $\mathbf{A}$ restringido a $S_d$ no es degenerado (es decir, incluso si $\mathbf{A}$ es degenerado).

Answer 2

En primer lugar, se puede suponer que $\mathbf{A}$ es una matriz simétrica, ya que su parte antisimétrica no contribuye al valor de la densidad. El factor de normalización es igual al recíproco de la integral sobre la superficie de la restricción. Esta integral puede convertirse en una integral sobre el conjunto de $\mathbb{R}^n$ de la siguiente manera:

$N^{-1}=\int_{\mathbf{x} \in S_d} \exp(-\mathbf{x}^T \mathbf{A}\mathbf{x}) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}k \int_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d} \exp(-\mathbf{x}^T \mathbf{A}\mathbf{x} + \sqrt{-1}k \mathbf{v}^T \mathbf{x})$

Dónde $\mathbf{v}$ es un $d$ -vector de dimensiones que tiene todos los componentes iguales a uno. Esta construcción puede entenderse intercambiando el orden de integración, luego la integración sobre $k$ genera una medida de Dirac concentrada en la superficie de restricción. El cambio de orden es posible porque el integrando está acotado. Realizando una terminación cuadrada del exponente, obtenemos:

$N^{-1}= \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}k \int_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d} \exp(-(\mathbf{x}+\frac{\sqrt{-1}}{2}k\mathbf{A}^{-1}\mathbf{v})^T \mathbf{A}(\mathbf{x}+\frac{\sqrt{-1}}{2}k\mathbf{A}^{-1}\mathbf{v}) - \frac{k^2}{4} \mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-2}\mathbf{v})$

Resolviendo la integral de Gauss sobre $\mathbb{R}^d$ :

$ N^{-1}= \frac{(2\pi)^{\frac{d-3}{2}}}{2\det(\mathbf{A})^{\frac{1}{2}}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}k \exp(-\frac{k^2}{4} \mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1}\mathbf{v}))$

Resolviendo la integral de Gauss sobre $k$ obtenemos el resultado final:

$ N^{-1} = \frac{(\pi)^{\frac{(d-1)}{2}}}{\det(\mathbf{A})^{\frac{1}{2} }(\mathbf{v}^T \mathbf{A}^{-1}\mathbf{v})^{\frac{1}{2}}}$