Una pregunta relacionada con la Ecuación de Onda

Question

Deje $L>0$. Supongamos $f, g$ $C^2$ funciones $\mathbb{R}$ tal que $$f(t)+f(-t)+\int_{-t}^t g(s)\,ds=0$$ y $$f(L+t)+f(L-t)+\int_{L-t}^{L+t} g(s)\,ds=0$$ para todos los $t\in \mathbb{R}.$ De lo anterior se sigue que el $f, g$ son impares funciones periódicas de periodo $2L$?

Answer 1

Yo así lo creo.

Lo que has escrito es la fórmula de D'Alembert para la ecuación de ondas en 1 dimensión en la línea, especificando que $u(0,t) = u_t(0,t) = u(L,t) = u_t(L,t) = 0$ para todas las épocas $t$.

El genérico de Fourier de modo que esta ecuación es $e^{i\xi (x -ct)}$, y la representación de la solución en términos de la transformada de Fourier de la inversión de la fórmula (en el sentido de templado distribuciones si es necesario) es, básicamente, que está integrando través de todas las frecuencias $\xi$. Pero en este caso, no puede haber ninguna contribución de cualquier modo excepto donde $\xi$ $\frac{n\pi}{L}$ a causa de sus impuso condiciones, y de hecho sólo la condición sine parte de ese plazo. Esto básicamente le da usted a la conclusión de que buscaron por $f$$g$.

Deduzco por el voto negativo que yo era demasiado vaga. Voy a tratar de nuevo con menos mano-ondulado método, sin hacer referencia a la teoría de Fourier.

Se puede considerar que, en general, en la línea, la solución a la ecuación de onda es la superposición de una onda que viaja a la derecha y una onda que viaja hacia la izquierda. Así que si establecemos $c=1$, tenemos $$u(x,t) = F(x+t) + G(x-t) = \frac{1}{2} \left(f(x+t) + f(x-t) + \int_{-t}^t g(s) ds \right)$$ donde $f(x) = F(x) + G(x)$ $g(x) = F'(x) - G'(x)$ (para los detalles de esta transformación, véase cualquier libro de texto de primaria de la PDE, o el artículo de Wikipedia sobre la fórmula de d'Alembert).

Las condiciones de traducir a una declaración de que $F(t) + G(-t)= 0$,$F(L+t) + G(L-t) = 0$. Conectar la primera igualdad en la segunda, obtenemos $F(L+t) = F(-L+t)$, que es precisamente la afirmación de que $F$ es periódica de período de $2L$. Si queremos realizar la sustitución con respecto a $G$ en lugar de eso, tenemos que $G(L-t) = G(-L-t)$ para todos los valores de $t$, lo $G$ es periódica de período de $2L$. Desde $F$ $G$ $2L$ periódico, por lo que se $f$$g$.

A ver que $f$ $g$ son impares, considere lo que sucede cuando echar un vistazo a $$f(-x) = F(-x) + G(-x) = -G(x) + (-F(x)) = - f(x)$$ Este utiliza sólo la primera condición anterior. Del mismo modo, diferenciar la primera condición para conseguir ese $F'(t) - G'(-t) = 0$, y, a continuación, sustituir a conseguir $$g(-x) = F'(-x) - G'(-x) = G'(x) - F'(x) = - g(x)$$

Answer 2

Lema. Si $o(t)$ es impar y $e(t)$ es incluso y $o(t)=e(t)$ todos los $t$, $o(t)=e(t)=0$ todos los $t$.

Para probar, simplemente sustituya $-t$ $t$ en la ecuación y obtenga $-o(t)=e(t)$, lo $-o(t)=o(t)$ $o(t)=e(t)=0$ todos los $t$.

Ahora en nuestra primera ecuación de $f(t)+f(-t)$ es incluso y $-\int_{-t}^t g(s)\,ds$ es impar. Así, por el Lema que hemos $f(t)+f(-t)=0$ todos los $t$ $f$ es impar.

En la segunda ecuación de $f(L-t)+f(L+t)$ es incluso y $-\int_{L-t}^{L+t} g(s)\,ds$ es impar. Así, por el Lema, $f(L-t)=-f(L+t)$. Sustituyendo $L+t$$t$, obtenemos $f(-t)=-f(2L+t)$. Ya hemos probado que la $f(-t)=-f(t)$, obtenemos $f(t)=f(2L+t)$.

Ahora, la primera ecuación se convierte en $\int_{-t}^t g(s)\,ds=0$. La diferenciación llegamos $g(t)+g(-t)=0$,es decir, $g$ es impar. La segunda ecuación se convierte en $\int_{L-t}^{L+t} g(s)\,ds=0$. La diferenciación llegamos $g(L+t)+g(L-t)=0$, lo $g$ es de plazo,$2L$, como hicimos para $f$.

Answer 3

Hay un claro contraejemplo.

Al $f(t)=g(t)=0$ , que obviamente satisfly $f(t)+f(-t)+\int_{-t}^tg(s)~ds=0$$f(L+t)+f(L-t)+\int_{L-t}^{L+t}g(s)~ds=0$ , pero $f(t)$ $g(t)$ no pertenece a impar funciones periódicas de periodo $2L$ .