Resolver el siguiente sistema no lineal de ecuaciones: $ xy+xz+yz=12 , xyz=2+x+y+z$

Question

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en $\Bbb R^+$: $$ \left\{ \begin{array}{l} xy+yz+xz=12 \\ xyz=2+x+y+z\\ \end{array} \right. $$

Yo lo hice de la siguiente manera.
Primera ecuación rendimientos a: $(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=24$. Ahora, utilizando la segunda ecuación obtenemos: $x^2y^2z^2-4xyz=20+x^2+y^2+z^2$ . Aquí me detuve...

Answer 1

Voy a mostrar que la única solución es, de hecho,$(2,2,2).$ $$\dfrac{xyz}{xy+yz+zx} = \dfrac{1}{6}+\dfrac{x+y+z}{12} = \dfrac{\sqrt{xy+yz+zx}}{12\sqrt{3}}+\dfrac{x+y+z}{12}\geq\dfrac{xyz}{4(xy+yz+zx)}+\dfrac{3xyz}{4(xy+yz+zx)} = \dfrac{xyz}{xy+yz+zx}$$, por AM-GM desigualdades a condición de que todos ellos son no-negativos.

Por lo tanto, el problema de la intención de pedir que no sólo las soluciones negativas, o tiene una infinidad de soluciones indicado por la respuesta anterior.

Answer 2

La condición da $$xyz=2+x+y+z$$ o $$xyz=2+\frac{(x+y+z)(xy+xz+yz)}{12}$$ o $$12xyz=24+\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+xyz)$$ o $$3xyz=24+\sum_{cyc}(x^2y+x^2z-2xyz),$$ lo que da $$3xyz-24=\sum_{cyc}(x^2y+x^2z-2xyz)=\sum_{cyc}z(x-y)^2\geq0.$$ Por lo tanto, $xyz\geq8$ y la igualdad se produce por $x=y=z$.

Por otro lado, por AM-GM
$$12=xy+xz+yz\geq3\sqrt[3]{x^2y^2z^2},$$ que da $xyz\leq8.$

Por lo tanto, $xyz=8$ y obtenemos $x=y=z=2$.

Answer 3

[ EDITAR ] La cuestión ha sido cambiado para exigir $\,x,y,z \ge 0\,$ ahora, lo que hace que la siguiente no se aplica más.

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(Demasiado largo para un comentario.) Deje $x=a+2, y=b+2, z=c+2\,$, entonces las condiciones reescribir como:

$$\requieren{cancel} \begin{cases} \begin{align} a b + b c + a c + 4(a + b + c) + \cancel{12} &= \cancel{12} \\ a b c + 2(a b + a c + b c) + 4(a + b + c) + \cancel{8} &= a+b+c + \cancel{8} \end{align} \end{casos} $$

$$\requieren{cancel} \iff\;\; \begin{cases} \begin{align} a b + b c + a c + 4(a + b + c) &= 0 \\ a b c + 2(a b + a c + b c) + 3(a + b + c) &= 0 \end{align} \end{casos} $$

Deje $u = a+b+c\,$, entonces:

$$\requieren{cancel} \begin{align} a b + b c + a c &= -4 u \\ a b c &= 5u\end{align} $$

Por lo tanto, $a,b,c$ son las raíces de $t^3-ut^2-4 ut-5u\,$, y el problema se reduce a hallar para qué valores de a $u$ el cúbicos tiene tres raíces reales (aparte de $u=0$ que corresponde a $x=y=z=2\,$).

Answer 4

Voy a utilizar el cúbicos ecuación con raíces $x$, $y$, $z$, inspirado por la respuesta de @dxiv:.

$$X^3 - s X^2 + 12 X - (2+s) =0$$

El discriminante de la ecuación es $-(2s+13)(2s+15)(s-6)^2$. Si $s\ge 0$, entonces el discriminante es positivo sólo para $s=6$, lo que da $a=b=c=2$. Por lo tanto: el sistema sólo tiene una solución positiva, pero infinitamente muchos negativos, para cada una de las $s \in [-\frac{15}{2}, -\frac{13}{2}]$, se obtiene una solución con $a+b+c = s$. Por ejemplo, para $s=-\frac{13}{2}$, obtenemos $a=b=-3$, $c=-\frac{1}{2}$ una solución.

Answer 5

Por un lado, tenemos $$(xy+yz+zx)^2 \geq 3xyz(x+y+z)$$, then one has $$-8 \leq x+ y +z \leq 6.$$

Por otro lado, tenemos a $$(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx) = 36,$$

entonces $$x+y+z \geq 6$$ or $$x+y+z \leq -6.$$

Así, ha $x+y+z = 6$ o $-8 \leq x+y+z \leq -6$ (pero x, y, z) es no negativo!).

Por lo tanto, $x+y+z = 6$$x=y=z$.