¿Cuál es la media geométrica de 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10...?

Question

Se sabe que el Constante de Khinchin no es la media geométrica de la primera $n$ coeficientes, como $n$ se acerca al infinito, de la fracción continua de e, que es $$[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1,1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12,\ldots]$$ Al ver el gráfico de $f(n)$ la media geométrica de la primera $n$ números, parece que habría una función bastante elemental $g(n)$ que sigue y se aproxima a ella. Dado que $2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10\cdots = 2^n\cdot n!$ podemos decir $$f(n)=\sqrt[n]{\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor !\cdot2^{\lfloor n/3 \rfloor + 1}}$$ Y como la función del suelo no importa mucho a gran escala, y para ser más coherente con la $\frac{n}3+1$ podemos reescribir la función como $$f(n)=\sqrt[n]{\Gamma\left(\frac{n}{3}+1\right)\cdot2^{n/3+ 1}}$$ Después de graficar esta función y leer una lista de identidades de la función gamma, no pude simplificarla, aunque la gráfica parece bastante recta. Mi pregunta es, ¿hay una más simple, o tal vez constante $g(n)$ donde $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1 \text{ ?}$$

Answer 1

Por La aproximación de Stirling sabemos que $(n!)^{1/n} \sim n/e$ como $n\to\infty$ Así que $$ \left(\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor!\right)^{1/n} \;=\; \left( \left(\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor!\right)^{3/n}\right)^{1/3} \;\sim\; \left(\frac{n}{3e}\right)^{1/3}, $$ y por lo tanto $$ f(n) \;\sim\; \left(\frac{2n}{3e}\right)^{1/3} $$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

La fórmula de Stirling establece que $n! \sim \sqrt{2\pi n} (n/e)^n$ y en particular $n!^{1/n} \sim n/e$ . Por lo tanto, $$ f(n) = (n/3)!^{1/n} (2^{n/3+1})^{1/n} \sim (n/3e)^{1/3} 2^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{2n}{3e}}. $$