Pensé que sólo de esta prueba, pero me parece que no puede conseguir que funcione.
Deje $a,b,c>0$, demuestran que, a $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$$
Prueba: Puesto que la desigualdad es homogénea, WLOG $a+b+c=1$. Por lo $b+c=1-a$, y del mismo modo para $b,c$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\ge \frac{3}{2}$$. From $a+b+c=1$ and $a,b,c>0$ we have $0<a,b,c<1$, so we have $$\frac{a}{1-a}=a+a^2+a^3+...$$ and similarly for $b,c$, so it suffices to prove that $$\sum_{cyc} a+\sum_{cyc} a^2+\sum_{cyc} a^3+...\ge \frac{3}{2}$$, or equivalently (by $a+b+c=1$) $$\sum_{cyc} a^2+\sum_{cyc} a^3+...\ge \frac{1}{2}$$, where $\sum_{cyc} a=a+b+c$ similarly for $\sum_{cyc}a^n=a^n+b^n+c^n$. Here I get stuck. For example, doing the stuff below yields a weak inequality, because of too many applications of the $a^2+b^2+c^2\ge (a+b+c)^2/3$ desigualdad.
"cosas de abajo": Ahora, de $0<a<1$ hemos $a^3>a^4$, $a^5>a^8$, $a^7>a^8$, $a^9>a^{16}$, y así sucesivamente, por lo que es suficiente para demostrar que $$\sum_{cyc} a^2+2\sum_{cyc} a^4+4\sum_{cyc} a^8+8\sum_{cyc} a^{16}+...\ge \frac{1}{2}$$, or, multiplying by 2, $$2\sum_{cyc} a^2+4\sum_{cyc} a^4+8\sum_{cyc} a^8+...\ge 1$$, which by a simple inequality (i.e. recursively using $a^{2^n}+b^{2^n}+c^{2^n}\ge \frac{(a^{2^{n-1}}+b^{2^{n-1}}+c^{2^{n-1}})^2}{3}$) is equivalent to $$2(1/3)+4(1/3)^3+8(1/3)^7+...+2^n(1/3)^{2^n-1}+...\ge 1$$. Pero, a continuación, http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5859879%7D+2%5Ei+*%281%2F3%29%5E%282%5Ei-1%29 y así estamos jodidos.
