Polinomios - relación de divisibilidad

Question

El ejercicio que estoy teniendo dificultad para resolver es la siguiente :

Supongamos $P$ $Q$ son dos polinomios con coeficientes enteros. Supongamos también que para todos los $(m,n) \in \mathbb{Z}^2$ tenemos $P(m)-P(n) | Q(m)-Q(n)$. Mostrar que existe un polinomio $H \in \mathbb{Q}[X]$ tal que $Q= H \circ P$.

El problema es que no sé cómo caracterizar de manera efectiva la existencia de un polinomio $H$... he intentado, sin éxito, utilizar el siguiente resultado :

si $P,Q$ son dos polinomios con coeficientes enteros tales que $P(n)|Q(n)$ infinitamente muchos enteros $n$, $P$ divide $Q$ dentro $\mathbb{Q}[x]$.

¿Alguien tiene una idea ?

Answer 1

Teorema 2.3 en http://www.math.uci.edu/~mfried/paplist-cov/SepVarbsCurves69.pdf podría ser útil:

(Frito-MacRae) Que $K$ ser un arbitrario campo y $f(t),g(t),f_1(t)$ y $g_1(t)$ ser polinomios en $K[t]$. Entonces divide a $f_1(x)-g_1(z)$ $f(x)-g(z)$ $K[x,z]$ si y sólo si existe un polinomio $F(t)$ $K[t]$ tal que $f(t)=F(f_1(t))$ y $g(t)=F(g_1(t))$.