¿Este conjunto de vectores abarcan el espacio de los polinomios de grado a lo más 3?

Question

Estoy teniendo problemas para la comprensión de esta tarea problema.

Supongamos que cuatro polinomios se define de la siguiente manera:

$ p_{1}(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1 \\ p_{2}(x) = x^2 - x + 2 \\ p_{3}(x) = 2x^3 + 3x + 4 \\ p_{4}(x) = 3x^2 + 2x + 1 \\ $

¿El conjunto de $S = $ { ${p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}}$ } span $P_{3}$ (el espacio de todos los polinomios de grado a lo sumo 3)?

Así que si empiezo con el polinomio $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ entiendo(creo) que para $S$ a palmo $P_{3}$ $y$ debe ser una combinación lineal de $S$ pero no estoy seguro de dónde ir de allí.

EDITAR:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 3 & 4\\ 0 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Por lo $\operatorname{rank}(A) = 4$, lo que significa que los vectores en el conjunto son linealmente independientes porque sólo hay 4 vectores columna de la matriz (Y no es sólo la solución trivial a la matriz) y por lo tanto nos span $P_{3}$?

Answer 1

Desde $P_3$ tiene dimensión 4, el conjunto $\{p_1,p_2,p_3,p_4\}$ tendrá una duración de $P_3$ si y sólo si son independientes. Así, la prueba de si los vectores en $\{p_1,p_2,p_3,p_4\}$ son independientes:

Asumir $$ c_1p_1+c_2p_2+c_3p_3+c_4p_4={\bf 0}. $$ Entonces $$ c_1(x^3-2x^2+x+1)+c_2(x^2-x+2)+c_3(2x^3+3x+4)+c_4(3x^2+2x+1) ={\bf 0}. $$ Recopilación de términos semejantes, lo anterior puede ser escrita como $$ (c_1+2c_3)x^3+(-2c_1+c_2+3c_4)x^2+(c_1-c_2+3c_3+2c_4)x+(c_1+2c_2+4c_3+c_4)={\bf 0}. $$ Un polinomio es el polinomio cero si y sólo si todos sus coeficientes son 0; por tanto, la anterior es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones: $$\etiqueta{1}\eqalign{ c_1+ 2c_3 &=0\cr -2c_1+c_2+3c_4&=0\cr c_1-c_2+3c_3+2c_4&=0\cr c_1+2c_2+4c_3+c_4 y=0} $$ La matriz de coeficientes del sistema es $$ A=\left[\matriz{1&0&2&0\cr -2&1&0&3\cr 1&-1&3&2\cr 1&2&4&1\cr }\right] $$ Una forma escalonada de a $A$ es $$ \left[\matriz{1&0&2&0\cr 0&1&-4&3\cr 0&0&-3&5\cr 0&0&0&7\cr }\right]. $$ Esto implica que el sistema solo tiene la solución trivial: $c_1=c_2=c_3=c_4=0$; por lo tanto $\{p_1,p_2,p_3,p_4\}$ es un conjunto independiente y así se extiende $P_3$.

Alternativamente, usted puede demostrar que la ecuación que escribió siempre tiene una solución. Para hacer esto, escriba el correspondiente sistema de ecuaciones. Usted va a terminar con el sistema como en el $(1)$, pero con el lado derecho de sustituir por los coeficientes de $y$.

---

Si usted sólo quiere "cortar a la persecución", tenga en cuenta que el coeficiente de la matriz de $A$ arriba es simplemente la matriz cuyas columnas son los coeficientes de los polinomios $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$. Usted podría tener inmediatamente por escrito este hacia abajo (o escrito en forma de filas) y, a continuación, determine si la matriz tiene rango completo. Es una buena cosa para ver qué se puede hacer esto, aunque...

Answer 2

Sugerencia: La respuesta puede ser acortado mediante la determinación de la determinante de la $A$ y ver si no es igual a $0$. Por lo tanto, por teorema si el factor determinante no es igual a cero el conjunto es linealmente independiente más su linealmente dependiente.