Considerar el espacio de todos limitadas real-valued funciones continuas de $\mathbb{R}$. Tengo problemas para entender cómo encontrar el bajoálgebra cerrado generado por seno y coseno.
Respuesta
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Denotar $\mathcal A$ el subalgebra generado por $x\mapsto \cos x$ y $x\mapsto \sin x$. $\mathcal A$ contiene todos los mapas de $\cos(nx)$ $\sin(nx)$ (puede ser demostrado por inducción y las fórmulas de $\cos(a+b)$, $\sin(a+b)$) y también las constantes (debido a $\cos^2x+\sin^2x=1$).
Si tomamos un continuo $2\pi$-función periódica, a continuación, por Stone-Weierstrass teorema es en el cierre de $\operatorname{span}\{1,\cos(kx),\sin(kx),k\in\mathbb N\}$ por lo que el cierre de $\mathcal A$ contiene todas continua $2\pi$-funciones periódicas. Por el contrario, cada función en $\mathcal A$ es continua y $2\pi$-periódico, así que es un límite uniforme de funciones.
Llegamos a la conclusión de que el cierre de $\mathcal A$ es el espacio de todas continua $2\pi$-funciones periódicas.
