El primer functor de Schur no trivial

Question

Estoy tratando de entender el functor de Schur $S^{(2,1)}$ . Probemos en un espacio vectorial $V$ de dimensión 3. La definición general es :

$S^{\lambda}V = V^{\otimes n} \otimes_{S_n} V^{\lambda}$

donde $V^{\lambda}$ es la representación irreductible de $S_n$ (el grupo simétrico) asociado a $\lambda \vdash n$ .

En el caso que me interesa, es decir $\lambda = (2,1)$ Entiendo la representación $V^{(2,1)}$ de $S_3$ que tiene como base $\{ (x_2 - x_1), (x_3 - x_1) \}$ (como subrepresentación de la representación definitoria con base $\{ x_1, x_2, x_3 \}$ ). Sin embargo, tengo dificultades para entender el producto tensorial en $S_3$ .

En el caso $S^{(3)}V$ , veo fácilmente que, con $V^{(3)} = \mathbb{C}\{x_1 + x_2 + x_3\}$ la definición de los elementos de $S^{(3)}V$ con el producto tensorial es

$\begin{align} & \ \ \ \ \ v_{\sigma(1)} \otimes v_{\sigma(2)} \otimes v_{\sigma(3)} \otimes_{S_n} (x_1 + x_2 + x_3) \\ & \equiv v_{1} \otimes v_{2} \otimes v_{3} \otimes_{S^n} (x_{\sigma(1)} + x_{\sigma(2)} + x_{\sigma(3)}) \\ &= v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \otimes_{S_n} (x_1 + x_2 + x_3) \end{align}$

Por lo tanto, es equivalente a decir que las variables conmutan, por lo que $S^{(3)}V = Sym^3V$ la componente del álgebra simétrica de $V$ .

En el caso $S^{(1,1,1)}V$ utilizando la misma definición y con $V^{(1,1,1)} = \mathbb{C} \{(x_3 - x_2)(x_3 - x_1)(x_2 - x_1)\}$ También entiendo claramente por qué $S^{(1,1,1)}V = \Lambda^3V$ la componente del álgebra exterior de $V$ .

Pero hay algo que no entiendo cuando $\dim(V^{\lambda}) \neq 1$ . En el caso $\lambda = (2,1)$ , $\dim(V^{\lambda}) = 2$ Por el producto tensorial, se crean diferentes clases de tensores y no sé qué hacer con ellos. También veo que diferentes permutaciones $\sigma \in S_3$ de $\mathbb{C}\{x_3 - x_1, x_2 - x_1 \}$ es siempre la extensión de dos de los tres subespacios $x_3 - x_1, x_2 - x_1$ y $x_3 - x_2$ .

¿Es útil para entender este functor de Schur? ¿Puedes ayudarme en este caso y quizás en el caso general si no es muy difícil? Gracias de antemano.

EDIT: Con "diferentes clases de tensores" me refiero a que, por ejemplo, tenemos:

$\begin{align} v_{\sigma(1)} \otimes v_{\sigma(2)} \otimes v_{\sigma(3)} \otimes_{S_n} (x_3 - x_1) \equiv \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \otimes_{S_n} (x_3 - x_1) \ \text{if} \ \sigma = \epsilon \\ &\ \ \ \ \ - v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \otimes_{S_n} (x_3 - x_1) \ \text{if} \ \sigma = (13) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \otimes_{S_n} (x_3 - x_2) \ \text{if} \ \sigma = (12) \\ &\ \ \ \ \ - v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \otimes_{S_n} (x_3 - x_2) \ \text{if} \ \sigma = (132) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \otimes_{S_n} (x_2 - x_1) \ \text{if} \ \sigma = (23) \\ &\ \ \ \ \ - v_1 \otimes v_2 \otimes v_3 \otimes_{S_n} (x_2 - x_1) \ \text{if} \ \sigma = (123) \\ \end{align}$

¿Qué hago con eso? ¿Cómo lo interpreto?

Answer 1

Parece que su construcción del functor de Schur realiza $S^\lambda(V)$ como cociente de $V^{\otimes d}$ . Por lo tanto, debe leer las fórmulas anteriores como identidades en $S^\lambda(V)$ (alternativamente, se podría expresar $S^\lambda(V)$ como cociente de $V^{\otimes d}$ por un subespacio adecuado. Por ejemplo, $S^{(3)}(V)=V^{\otimes 3}/W$ , donde $W$ es el subespacio abarcado por $\{v_1\otimes v_2\otimes v_3+v_{\sigma(1)}\otimes v_{\sigma(2)}\otimes v_{\sigma(3)}\mid v_i\in V, \sigma\in S_3\}$ que, por supuesto, es $Sym^3(V)$ ).

En el caso de $S^{(2,1)}(V)$ se puede observar que $x_2-x_1=\sigma(x_3-x_1)$ donde $\sigma=(23)$ . Por lo tanto, $$v_1\otimes v_2\otimes v_3\otimes(x_2-x_1)=v_1\otimes v_3\otimes v_2\otimes(x_3-x_1).$$ Entonces, su ecuación para $\sigma=(132)$ da la relación no trivial $$\begin{align} v_3\otimes v_1\otimes v_2\otimes(x_3-x_1)&=v_1\otimes v_2\otimes v_3\otimes(x_3-x_2)\\ &=v_1\otimes v_2\otimes v_3\otimes(x_3-x_1)-v_1\otimes v_2\otimes v_3\otimes(x_2-x_1)\\ &=v_1\otimes v_2\otimes v_3\otimes(x_3-x_1)-v_1\otimes v_3\otimes v_2\otimes(x_3-x_1)\\ &=(v_1\otimes v_2\otimes v_3-v_1\otimes v_3\otimes v_2)\otimes(x_3-x_1)\\ \end{align}$$ que yo interpretaría como $$v_3\otimes v_1\otimes v_2=v_1\otimes v_2\otimes v_3-v_1\otimes v_3\otimes v_2$$ en $S^{(2,1)}(V)$ . Además, observe que su ecuación para $\sigma=(13)$ dice que el tensor es antisimétrico en la primera y tercera componentes (por lo que hay un producto de cuña ahí).

Ahora, en cuanto a su pregunta sobre la realización $S^{(2,1)}(V)$ como el núcleo del mapa $\bigwedge^2V\otimes V\to \bigwedge^3V$ Tenga en cuenta que existe una definición alternativa de $S^\lambda(V)$ que lo realiza como un subespacio de $V^{\otimes d}$ . A saber, $S^\lambda(V)=im(c_\lambda)$ , donde $c_\lambda\in \mathbb{C}S_d$ es el simetrizador de Young asociado a $\lambda$ . En el caso de $\lambda=(2,1)$ , $$c_\lambda=1+(12)-(13)-(321),$$ y $$c_\lambda(v_1\otimes v_2\otimes v_3)=v_1\otimes v_2\otimes v_3+v_2\otimes v_1\otimes v_3-v_3\otimes v_2\otimes v_1-v_3\otimes v_1\otimes v_2.$$ En esta realización, se deduce que $S^(2,1)(V)$ es el subespacio de $V^{\otimes 3}$ abarcados por vectores de la forma $$v_1\otimes v_2\otimes v_3+v_2\otimes v_1\otimes v_3-v_3\otimes v_2\otimes v_1-v_3\otimes v_1\otimes v_2.$$ Nótese que estos elementos son antisimétricos en la primera y tercera componentes, por lo que podemos pensar en ellos como elementos de $\bigwedge^2V\otimes V$ a través de la incrustación $$(v_1\wedge v_3)\otimes v_2\mapsto v_1\otimes v_2\otimes v_3-v_3\otimes v_2\otimes v_1.$$ Bajo esta identificación, tenemos $$v_1\otimes v_2\otimes v_3+v_2\otimes v_1\otimes v_3-v_3\otimes v_2\otimes v_1-v_3\otimes v_1\otimes v_2=(v_1\wedge v_3)\otimes v_2+(v_2\wedge v_3)\otimes v_1.$$ Está claro que estos elementos se envían a $0$ bajo el mapa $\bigwedge^2V\otimes V\to\bigwedge^3V$ y abarcar el núcleo.

Answer 2

Existe una definición más utilizable del functor de Schur para $\lambda \dashv n$ que la definición $S^\lambda V = V^{\otimes n} \otimes_{S_n} V^{\lambda}$ . Aparece en el página de la wikipedia para el functor de Schur Aunque encontrarás una mejor exposición en el libro "Young Tableaux" de William Fulton.

Tomemos un espacio vectorial cualquiera $V$ y la partición elegida $\lambda = (2, 1)$ . Voy a escribir elementos de $V^{\otimes 3}$ en una cuadrícula de forma $(2, 1)$ Así que en lugar de $T = v_1 \otimes v_2 \otimes v_3$ Voy a escribir $T = \begin{Bmatrix} v_1 & v_3 \\ v_2 \end{Bmatrix}$ (elija algún tipo de ordenación de la parrilla, y cíñase a ella). Como se trata de un producto tensorial, debería obedecer las relaciones habituales, como $$\begin{Bmatrix} v_1 + w & v_3 \\ v_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} v_1 & v_3 \\ v_2 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} w & v_3 \\ v_2 \end{Bmatrix}$$ $$\begin{Bmatrix} x v_1 & v_3 \\ v_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} v_1 & v_3 \\ x v_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} v_1 & xv_3 \\ v_2 \end{Bmatrix} = x \begin{Bmatrix} v_1 & v_3 \\ v_2 \end{Bmatrix}$$ y así sucesivamente. Hasta ahora sólo tengo el espacio $V^{\otimes 3}$ No he utilizado la partición $\lambda$ todavía.

Ahora, imponemos algunas relaciones adicionales. Requerimos columnas alternas , lo que significa que si el mismo vector aparece dos veces en una columna, el tensor completo es 0. Equivalentemente, siempre que cambiamos dos elementos en una columna, negamos el tensor. Para $\lambda = (2, 1)$ Esto sólo nos da una relación extra:

$$\text{Alternating Relation: } \begin{Bmatrix} v_1 & v_3 \\ v_2 \end{Bmatrix} = - \begin{Bmatrix} v_2 & v_3 \\ v_1 \end{Bmatrix}$$

La siguiente relación es más difícil de enunciar. Para cada par de columnas adyacentes $i-1, i$ de $\lambda$ , fije un subconjunto $I$ de casillas en la columna de la derecha. Ahora queremos un tensor $T$ sea igual a la suma de todos los intercambios del conjunto $I$ con un conjunto de igual tamaño en la columna $i - 1$ donde un intercambio intercambia los elementos de los subconjuntos elegidos, preservando el orden. Esto se denomina condición de intercambio . En el caso $\lambda = (2, 1)$ sólo obtenemos una relación, ya que sólo hay un par de columnas adyacentes. La relación es:

$$\text{Exchange Relation: } \begin{Bmatrix} v_1 & v_3 \\ v_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} v_3 & v_1 \\ v_2 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} v_1 & v_2 \\ v_3 \end{Bmatrix}$$

Esto describe exactamente el functor de Schur $S^\lambda V$ . Fulton muestra que esto es lo mismo que la definición $S^\lambda V = V^{\otimes n} \otimes_{S_n} V^{\lambda}$ En mi opinión, es una definición mucho mejor para usar "en la ira", si sólo quieres garabatear algunos elementos de la cosa y ver dónde van bajo ciertos mapas y demás.

Finalmente, se puede ver fácilmente el espacio simétrico $\lambda = (n)$ utilizando esta descripción, ya que no hay relación de alternancia, y la relación de intercambio sólo dice que las celdas adyacentes se conmutan. Del mismo modo, el espacio de alternancia $\lambda = (1, 1, \ldots, 1)$ sale directamente de las relaciones de alternancia, no hay condiciones de intercambio.