Un poco perdido aquí, por favor, ayudar a...
Si $M$ y $N$ son subgrupos normales de $G$ y $N\leq M$.
demostrar que $(G/N)/(M/N)\cong G/M$
Más allá de la muestra a ser definidas soy una perdida.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Failsafe
Puntos
101
Pensar acerca de los elementos que componen $G/N$. Es es el conjunto de cosets de $N$$G$. Es decir, $G/N=\{ Ng \mid g \in G\}$ Es $M/N$ un subgrupo normal de este cociente grupo? Tomaría un par de líneas para probarlo, pero usted debe. Supongamos que han demostrado que, a $M/N$ es normal en $G/N$. Ahora, ¿qué es $(G/N)/(M/N)$? $(G/N)/(M/N)=\{(M/N)g \mid g \in (G/N)\}$
Elementos de $(G/N)$ son de la forma $Ng$, elementos de $(M/N)$ son de la forma$Nm$$m \in M$. En la multiplicación de ellos, estamos multiplicando $(Nm)(Ng),n \in N, g \in G$. Después de haber identificado los elementos de $(G/N)/(M/N)$, es fácil ver lo que el requerido homomorphism debe ser. Definir $\phi:(G/N)/(M/N) \rightarrow G/M$
$ NmNg \phi= \begin{cases} M & \text{if } g \in M \\ Mg & \text{if } g \in G \setminus M. \end{casos} $
El núcleo de $\phi$ sería el conjunto de cosets de $N$$M$.
